Zuletzt aktualisiert: 2026-06-04

Definition

Ein Ellipsoid ist eine glatte, geschlossene Fläche im dreidimensionalen Raum, deren Schnitte mit jeder Koordinatenebene Ellipsen ergeben. Es wird durch drei Halbachsen beschrieben — die halben Ausdehnungen entlang der drei Koordinatenachsen:

• a — längste Halbachse (in x-Richtung)
• b — mittlere Halbachse (in y-Richtung)
• c — kürzeste Halbachse (in z-Richtung, Tiefe)

Jeder Punkt auf der Oberfläche erfüllt die Gleichung x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. Sind alle drei Halbachsen gleich (a = b = c = r), entartet das Ellipsoid zur Kugel.

Ellipsoide begegnen uns in Natur und Technik: die Erde (abgeplattetes Sphäroid, a ≈ b > c), ein Rugbyball (gestrecktes Sphäroid, a > b ≈ c), Zellkerne in der Biologie, Planetenformen in der Astronomie und druckbeaufschlagte Behälter in der Verfahrenstechnik.

Volumenformel

Das Volumen eines Ellipsoids berechnet sich nach der exakten Formel:

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

Herleitung durch Integration

Die Herleitung gelingt durch Integration elliptischer Querschnittsflächen. In der Höhe z hat das Ellipsoid einen horizontalen Schnitt in Form einer Ellipse mit den Halbachsen a·√(1 − z²/c²) und b·√(1 − z²/c²); deren Flächeninhalt beträgt πab(1 − z²/c²). Integration über die gesamte Höhe von −c bis +c liefert:

$V = \int_{-c}^{c} \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi ab \left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \frac{4}{3}\pi abc$

Die Formel ist eine direkte Verallgemeinerung der Kugelformel: Setzt man a = b = c = r ein, erhält man V = (4/3)πr³.

Oberfläche — warum nur eine Näherung?

Bei einer Kugel ist die Krümmung überall gleich, und das Oberflächenintegral vereinfacht sich elegant zu 4πr². Beim Ellipsoid variiert die Krümmung von Punkt zu Punkt — an den Scheiteln der kurzen Achse ist die Oberfläche stärker gewölbt als an den Scheiteln der langen Achse. Das Oberflächenintegral führt daher auf unvollständige elliptische Integrale erster und zweiter Gattung, die keine elementar geschlossene Darstellung besitzen.

Für den Sonderfall eines Rotationssphäroids (zwei gleiche Halbachsen) existieren hingegen exakte elementare Ausdrücke:

Für das allgemeine dreiachsige Ellipsoid (a ≠ b ≠ c) ist eine Näherungsformel erforderlich.

Knud-Thomsen-Näherung

Die genaueste einfache Näherungsformel für die Oberfläche eines dreiachsigen Ellipsoids ist die Formel von Knud Thomsen (2004):

$A \approx 4\pi\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p}, \quad p = 1{,}6075$

Der Exponent p = 1,6075 wurde empirisch so gewählt, dass der schlechteste relative Fehler über alle möglichen Achsverhältnisse minimiert wird. Für beliebige positive Halbachsen liegt der maximale relative Fehler unter 1,061 %. Für die Kugel (a = b = c) ist die Formel exakt — sie vereinfacht sich algebraisch zu 4πa². Fehler nahe dem Maximum treten nur bei sehr extremen Achsverhältnissen auf; in der Praxis liegt der Fehler meist unter 0,5 %.

Sonderfälle

Rechenbeispiel

Ein ellipsoidaler Druckbehälter aus einem Chemielabor hat die Halbachsen a = 30 cm, b = 20 cm und c = 15 cm.

Volumen:

$V = \tfrac{4}{3} \times \pi \times 0{,}30 \times 0{,}20 \times 0{,}15 = \tfrac{4}{3}\pi \times 0{,}009 \approx 0{,}03770 \text{ m}^3 \approx 37{,}70 \text{ Liter}$

Oberfläche (Knud Thomsen, p = 1,6075):

Zwischenwerte:

• 0,30^1,6075 ≈ 0,1444; 0,20^1,6075 ≈ 0,0752; 0,15^1,6075 ≈ 0,0474
• a^p · b^p = 0,1444 × 0,0752 ≈ 0,01086
• a^p · c^p = 0,1444 × 0,0474 ≈ 0,006840
• b^p · c^p = 0,0752 × 0,0474 ≈ 0,003564
• Summe / 3 ≈ 0,007088; ^(1/1,6075) ≈ 0,04601

$A \approx 4\pi \times 0{,}04601 \approx 0{,}5782 \text{ m}^2$

Die Oberfläche von knapp 0,58 m² gibt beispielsweise an, wie viel Isoliermaterial benötigt wird, um den Behälter zu ummanteln.

Skalierungsverhalten

Da V = (4/3)πabc gilt, verdoppelt die Verdopplung einer einzigen Halbachse das Volumen — ein wesentlicher Unterschied zur Kugel, bei der die Verdopplung des Radius das Volumen verachtfacht. Die gleichzeitige Verdopplung aller drei Halbachsen verachtfacht das Volumen, entsprechend dem allgemeinen Skalierungsfaktor 2³.