Trapezregel-Rechner
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| Untere Grenze | 0 |
|---|---|
| Obere Grenze | 1 |
| Teilintervalle | 4 |
| Funktionswerte | 1, 0.94, 0.78, 0.64, 0.5 |
Trapezregel-Rechner
Bestimmtes Integral mit der Trapezregel aus abgetasteten Funktionswerten näherungsweise berechnen. Geben Sie die Grenzen, die Anzahl der Teilintervalle und die Werte f(x₀)…f(xₙ) ein, um den Flächenschätzwert und die Schrittweite zu erhalten.
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Die Trapezregel
Die Trapezregel schätzt ein bestimmtes Integral, indem sie die Kurve zwischen abgetasteten Punkten durch Geradenstücke ersetzt. Jeder Streifen wird zu einem Trapez, und das Integral wird durch die Gesamtfläche dieser Trapeze angenähert.
Teilt man das Intervall [a, b] in n gleich breite Teilintervalle der Breite h = (b − a) / n, entstehen n + 1 Stützstellen x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Wertet man die Funktion an jeder Stelle aus, erhält man f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), und der Schätzwert lautet:
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
Dieser Rechner arbeitet mit abgetasteten Funktionswerten statt mit einer eingetippten Formel: Sie geben f an den n + 1 gleichmäßig verteilten Stützstellen an — genau die Situation, die bei Messdaten oder Wertetabellen auftritt.
Warum die Gewichte 1, 2, 2, …, 2, 1 lauten
Ein einzelnes Teilintervall [xᵢ, xᵢ₊₁] bildet ein Trapez mit den parallelen Seiten f(xᵢ) und f(xᵢ₊₁) und der Breite h. Seine Fläche ist (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)). Addiert man die Flächen aller n Trapeze, taucht jede innere Stützstelle in zwei benachbarten Trapezen auf und wird zweimal gezählt, während die beiden äußeren Randpunkte nur einmal vorkommen. Das ergibt das Gewichtsmuster 1, 2, 2, …, 2, 1, alle mit h/2 multipliziert. Eine praktische, intern verwendete Umformung lautet
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ],
die jeden Wert zweimal addiert und anschließend die Randpunkte je einmal abzieht.
Durchgerechnetes Beispiel
Schätzen Sie ∫₀¹ x² dx mit n = 4 Teilintervallen. Die Schrittweite ist h = (1 − 0) / 4 = 0,25, die Stützstellen sind 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Die Werte von x² sind:
| x | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 0 | 0,0625 | 0,25 | 0,5625 | 1 |
Anwenden der Regel:
∫ ≈ (0,25/2)·[0 + 2(0,0625) + 2(0,25) + 2(0,5625) + 1] ∫ ≈ 0,125·[0 + 0,125 + 0,5 + 1,125 + 1] = 0,125·2,75 = 0,34375
Der exakte Wert ist 1/3 ≈ 0,33333, also liegen vier Streifen bereits auf etwa 0,01 genau. Mit n = 10 ergibt sich 0,335 und mit n = 100 schon 0,333325 — der Fehler nimmt etwa proportional zu h² ab.
Wie sich der Fehler verhält
Die Trapezregel ist von zweiter Ordnung: Halbiert man h, sinkt der Fehler etwa auf ein Viertel. Für eine zweimal differenzierbare Funktion beträgt der Fehler über [a, b]
E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)
für ein ξ im Intervall. Aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung folgt:
- Bei einer konvexen (nach oben offenen) Kurve (f″ > 0) liegen die Sehnen über der Kurve, die Regel überschätzt also das Integral.
- Bei einer konkaven (nach unten offenen) Kurve (f″ < 0) liegen die Sehnen unter der Kurve, die Regel unterschätzt es.
Für Geraden ist f″ = 0, sodass die Trapezregel exakt ist — jeder Streifen ist ein echtes Trapez ohne verfehlte Krümmung.
Trapezregel gegenüber Simpson-Regel
Die Simpson-Regel legt statt einer Geraden eine Parabel durch jeweils zwei Teilintervalle. Ihr Fehler ist proportional zu h⁴, weshalb sie für glatte Funktionen bei gleicher Punktzahl wesentlich schneller konvergiert. Der Preis: Die Simpson-Regel verlangt eine gerade Anzahl von Teilintervallen, während die Trapezregel mit jedem n auskommt. Die Trapezregel ist zudem robuster gegenüber verrauschten oder unregelmäßigen Daten, bei denen das Erzwingen einer Parabel das Rauschen verstärken kann.
Als Faustregel: Trapezregel für schnelle Schätzungen, Wertetabellen oder ungerade n; Simpson-Regel, wenn die Funktion glatt ist und Sie bei gleichem Aufwand hohe Genauigkeit wünschen.
Praktische Hinweise
- Anzahl passend wählen. Bei n Teilintervallen müssen Sie genau n + 1 Werte angeben, einen je Stützstelle. Der Rechner meldet einen Konflikt, damit der Abstand gleichmäßig bleibt.
- Reihenfolge einhalten. Listen Sie die Werte von x₀ = a bis xₙ = b. Randpunkte sind anders gewichtet als innere Punkte, daher kommt es auf die Reihenfolge an.
- Vertauschte Grenzen. Ist a größer als b, wird die Schrittweite negativ und das Ergebnis wechselt das Vorzeichen — passend zur Konvention für vertauschte Integrationsgrenzen.
- Nur gleichmäßiger Abstand. Dies ist die Trapezregel auf einem gleichmäßigen Gitter. Ungleich verteilte Daten erfordern die allgemeine Trapezformel mit individuellen Streifenbreiten.
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- Ableitung eines Polynoms an einem Punkt — numerische Ableitung an einer einzelnen Stelle
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie viele Funktionswerte muss ich eingeben?
Teilt man das Intervall [a, b] in n Teilintervalle, entstehen n + 1 Stützstellen: x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Sie geben den Funktionswert an jeder dieser Stellen an, also benötigen n Teilintervalle n + 1 Werte. Beispiel: 4 Teilintervalle über [0, 1] nutzen die Stellen 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1 — insgesamt fünf Werte. Stimmen Anzahl der Werte und Teilintervalle nicht überein, weist der Rechner darauf hin, damit der Abstand gleichmäßig bleibt.
Warum zählen die Randpunkte einfach, die inneren Punkte aber doppelt?
Jedes Teilintervall liefert ein Trapez mit der Fläche (h/2)(linke Höhe + rechte Höhe). Benachbarte Trapeze teilen sich eine innere Stützstelle, deren Höhe somit in zwei Trapezen auftaucht und doppelt addiert wird. Die beiden äußeren Randpunkte x₀ und xₙ gehören jeweils nur zu einem Trapez und zählen daher einfach. Das Zusammenfassen der Terme ergibt die bekannten Gewichte 1, 2, 2, …, 2, 1, alle mit h/2 multipliziert.
Wie genau ist die Trapezregel im Vergleich zur Simpson-Regel?
Die Trapezregel ersetzt die Kurve zwischen den Punkten durch Geradenstücke; ihr Fehler nimmt proportional zu h² ab (Genauigkeit zweiter Ordnung). Für Geraden ist sie exakt, bei konkav nach unten gekrümmten Kurven überschätzt und bei konkav nach oben gekrümmten unterschätzt sie.
Die Simpson-Regel legt Parabeln durch Paare von Teilintervallen und hat einen Fehler proportional zu h⁴, ist also bei glatten Funktionen für dieselbe Punktzahl meist deutlich genauer. Verkleinern Sie h durch mehr Teilintervalle, oder wechseln Sie zur Simpson-Regel, wenn hohe Genauigkeit gefragt ist.
Was passiert, wenn die untere Grenze größer als die obere ist?
Ist a größer als b, wird die Schrittweite h = (b − a) / n negativ und kehrt das Vorzeichen des Ergebnisses um — passend zur Konvention, dass das Vertauschen der Integrationsgrenzen das Integral negiert. Der Betrag des Schätzwerts bleibt gleich. Listen Sie die Funktionswerte der Reihe nach von x₀ = a bis xₙ = b auf, damit die Zuordnung zu den Stützstellen korrekt bleibt.
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