Zuletzt aktualisiert: 2026-06-23

Chi-Quadrat-Anpassungstest

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest geht einer einzigen Frage nach: Stimmen beobachtete Kategorienhäufigkeiten mit den von einer Hypothese vorhergesagten Häufigkeiten überein? Er ist das Standardwerkzeug, um eine kategoriale Stichprobe gegen eine theoretische Verteilung zu prüfen — ob ein Würfel fair ist, ob genetische Kreuzungen einem Verhältnis von 9:3:3:1 folgen oder ob die Farben in einer Tüte Bonbons in den angegebenen Anteilen vorkommen. Sie geben die je Kategorie tatsächlich gezählten Häufigkeiten und die unter der Nullhypothese erwarteten Häufigkeiten ein, und der Test liefert eine Prüfgröße, ihre Freiheitsgrade und einen p-Wert.

Die Prüfgröße

Der Test fasst die Lücke zwischen Beobachtung und Erwartung mit der Pearson-Prüfgröße zusammen:

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Dabei ist $O_i$ die beobachtete Häufigkeit in Kategorie $i$, $E_i$ die erwartete Häufigkeit und $k$ die Anzahl der Kategorien. Jeder Summand misst, wie weit eine Kategorie von ihrer Vorhersage abgewichen ist. Die Abweichung wird quadriert, damit Über- und Unterschüsse beide als Indiz gegen die Hypothese zählen, statt sich auszugleichen, und damit größere absolute Lücken stärker ins Gewicht fallen. Die Division durch $E_i$ normiert jede quadrierte Abweichung: Eine Abweichung von zehn Häufigkeiten ist eine ernste Diskrepanz, wenn nur fünf erwartet wurden, aber unbedeutend, wenn fünftausend erwartet wurden; die Division durch die erwartete Häufigkeit stellt jede Kategorie auf eine vergleichbare Skala. Die Summe über die Kategorien ergibt eine einzige Zahl, die wächst, je weiter sich die Daten von der Hypothese entfernen. Stimmen die beobachteten Häufigkeiten genau mit den erwarteten überein, ist jeder Summand null und $\chi^2 = 0$.

Freiheitsgrade und p-Wert

Die Prüfgröße wird mit einer Chi-Quadrat-Verteilung verglichen, deren Form durch ihre Freiheitsgrade festgelegt ist. Für einen einfachen Anpassungstest gilt:

$\text{df} = k - 1$

Ein Freiheitsgrad wird verbraucht, weil sich die Kategorienhäufigkeiten zu einer bekannten Summe addieren müssen: Sind die ersten k − 1 Häufigkeiten festgelegt, ist die letzte bestimmt, sodass nur k − 1 von ihnen frei variieren können. (Wird die erwartete Verteilung selbst mit zusätzlichen Parametern aus den Daten geschätzt, ziehen Sie je geschätztem Parameter einen weiteren Freiheitsgrad ab.)

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit im oberen Verteilungsende — die Chance, eine Prüfgröße von mindestens der beobachteten Größe zu sehen, wenn die Nullhypothese zuträfe. Der Anpassungstest ist von Natur aus ein einseitiger Test am oberen Ende: Nur große Werte von $\chi^2$ deuten auf eine schlechte Anpassung hin, während kleine Werte bedeuten, dass die Daten nahe an der Vorhersage liegen. Sie vergleichen den p-Wert mit einem Signifikanzniveau $\alpha$ (häufig fünf Prozent). Ist $p < \alpha$, ist die Diskrepanz größer, als sich durch Stichprobenrauschen bequem erklären lässt, und Sie verwerfen die Hypothese, dass die Daten der erwarteten Verteilung folgen. Ist $p \ge \alpha$, sind die Daten mit der Hypothese vereinbar — was nicht dasselbe ist, wie sie zu beweisen.

Rechenbeispiel

Angenommen, ein Geschäft erwartet, dass seine drei Kassen den Andrang von 100 Kundinnen und Kunden in einem Verhältnis von 40:40:20 abwickeln, und zählt an einem Nachmittag 50, 30 und 20 Personen. Die erwarteten Häufigkeiten sind 40, 40 und 20. Dann gilt:

Bei drei Kategorien hat der Test zwei Freiheitsgrade. Der p-Wert im oberen Verteilungsende für $\chi^2 = 5$ bei zwei Freiheitsgraden beträgt etwa $0.082 \approx p$. Da $p \gt 0.05$, ist die beobachtete Aufteilung auf dem 5-%-Niveau mit der erwarteten Verteilung von 40:40:20 vereinbar: Das scheinbare Ungleichgewicht zwischen den ersten beiden Kassen liegt im Rahmen gewöhnlicher Stichprobenschwankung.

Voraussetzungen

Die Chi-Quadrat-Näherung beruht auf einigen Bedingungen. Die erwarteten Häufigkeiten sollten hinreichend groß sein — eine verbreitete Faustregel verlangt, dass jede erwartete Häufigkeit mindestens 5 beträgt; sind mehrere kleiner, fassen Sie dünn besetzte Kategorien zusammen oder verwenden Sie stattdessen einen exakten Test. Die Beobachtungen müssen unabhängig sein, jede Einheit fällt in genau eine Kategorie. Und der Test arbeitet mit rohen Häufigkeiten, nicht mit Prozentwerten oder Anteilen: Ist eine Hypothese als Satz von Anteilen formuliert, multiplizieren Sie jeden Anteil mit dem Stichprobenumfang, um vor dem Test die erwarteten Häufigkeiten zu erhalten, und prüfen Sie, dass diese dieselbe Summe wie die beobachteten Häufigkeiten ergeben.

Für den Vergleich der Mittelwerte zweier Gruppen statt kategorialer Häufigkeiten siehe den Zwei-Stichproben-t-Test (Welch); um eine z-Prüfgröße in eine Randwahrscheinlichkeit umzurechnen, siehe p-Wert aus z-Wert.