Zuletzt aktualisiert: 2026-06-23

Was dieser Rechner leistet

Dieser Rechner bestimmt die Fehlermarge für die Schätzung eines Populationsmittelwerts aus einer Stichprobe sowie das Konfidenzintervall um den Stichprobenmittelwert. Einzugeben sind das Konfidenzniveau, die Standardabweichung, der Stichprobenumfang und der beobachtete Stichprobenmittelwert.

Was die Fehlermarge ist

Wenn eine Umfrage, Erhebung oder ein Experiment einen Durchschnitt aus einer Stichprobe schätzt, ist der Schätzwert nie exakt — eine andere Zufallsstichprobe ergäbe einen leicht abweichenden Mittelwert. Die Fehlermarge quantifiziert diese Stichprobenunsicherheit. Sie ist das „Plus-Minus", das neben Ergebnissen wie „durchschnittliche Zufriedenheit 7,2 von 10, ±0,3" steht. Formal ist sie die halbe Breite eines Konfidenzintervalls: der Abstand vom Stichprobenmittelwert zu jedem Ende des Intervalls.

Die Formel

Für einen Populationsmittelwert mit bekannter (oder gut geschätzter) Standardabweichung lautet die Fehlermarge:

• E — die Fehlermarge (die halbe Breite des Intervalls)
• z — der kritische Wert aus der Standardnormalverteilung, festgelegt durch das Konfidenzniveau (1,645 für 90 %, 1,96 für 95 %, 2,576 für 99 %)
• σ — die Standardabweichung der Daten
• n — der Stichprobenumfang

Der Term $\sigma/\sqrt{n}$ ist der Standardfehler des Mittelwerts: die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts. Die Multiplikation mit dem kritischen Wert skaliert ihn auf das gewünschte Konfidenzniveau.

Das Konfidenzintervall ergibt sich dann als Stichprobenmittelwert zuzüglich und abzüglich dieser Marge:

Ein Stichprobenmittelwert $\bar{x}$ mit Fehlermarge $E$ liefert somit das Intervall von $\bar{x} - E$ bis $\bar{x} + E$. Bei 95 % Konfidenz bedeutet dies: Würde die Studie vielfach wiederholt, enthielten etwa 95 % der so konstruierten Intervalle den wahren Populationsmittelwert.

Warum die Marge mit √n schrumpft

Da der Stichprobenumfang unter einer Quadratwurzel in die Formel eingeht, fällt die Fehlermarge proportional zu $1/\sqrt{n}$ und nicht umgekehrt proportional zu $n$ selbst. Daraus ergibt sich ein abnehmender Grenzertrag:

Um die Fehlermarge zu halbieren, muss der Umfang vervierfacht werden. Dieses Wurzelgesetz erklärt, warum große landesweite Erhebungen weiterhin Margen von einigen Prozentpunkten ausweisen und warum jede zusätzliche Einheit an Genauigkeit zunehmend teurer wird.

Rechenbeispiel

Eine Stichprobe vom Umfang 100 habe eine Standardabweichung von 15 und einen Mittelwert von 50; gesucht ist ein Konfidenzintervall zu 95 %. Der kritische Wert beträgt 1,96:

Die Fehlermarge beträgt ±2,94, und das 95-%-Konfidenzintervall reicht von 47,06 bis 52,94. Lesart: Auf Grundlage dieser Stichprobe liegt der Populationsmittelwert plausibel irgendwo in diesem Bereich.

Wenn σ unbekannt oder n klein ist

Die obige Formel setzt voraus, dass die Populationsstandardabweichung σ bekannt ist oder die Stichprobe groß genug, dass die Stichprobenstandardabweichung s ein verlässlicher Ersatz ist. Eine gängige Faustregel lautet $n \geq 30$.

Ist σ unbekannt und die Stichprobe klein, tritt an die Stelle des Normalwerts ein kritischer Wert aus der t-Verteilung. Sie besitzt schwerere Ränder, um die zusätzliche Unsicherheit bei der Schätzung von σ aus den Daten abzubilden:

Der t-Wert hängt von den Freiheitsgraden ab, die um eins kleiner sind als der Stichprobenumfang, und ist stets etwas größer als der entsprechende z-Wert, sodass er das Intervall verbreitert. Mit wachsendem n nähert sich der t-Wert wieder dem z-Wert an.

Fehlermarge bei einem Anteil

Dieser Rechner behandelt die Fehlermarge für einen Mittelwert. Bei einem Anteil — etwa dem Anteil der Befragten, die mit „ja" geantwortet haben — ist der Standardfehler ein anderer, und die Fehlermarge wird zu:

wobei $p$ der Stichprobenanteil ist. Dieser Ausdruck ist am größten, wenn $p$ gleich einhalb ist, weshalb in Umfragen häufig die konservative „Worst-Case"-Marge bei diesem Wert angegeben wird.

Verwandte Rechner

Das Werkzeug Konfidenzintervall-Rechner bildet das vollständige Intervall um die Schätzung und erlaubt die Arbeit sowohl mit Mittelwerten als auch mit Anteilen. Wer eine Studie plant und n vorab so wählen möchte, dass eine angestrebte Marge erreicht wird, kann mit dem Rechner Stichprobengröße berechnen (Mittelwert) die Formel umstellen und den nötigen Stichprobenumfang bestimmen.