Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Das Konfidenzintervall

Ein Konfidenzintervall gibt einen plausiblen Wertebereich für einen unbekannten Populationsparameter – typischerweise den Mittelwert – an, basierend auf den Daten einer Stichprobe. Geben Sie Ihre Stichprobenkennwerte ein und wählen Sie das Konfidenzniveau, um Intervall, Fehlertoleranz und Z-Wert zu erhalten.

Formeln

Mit Stichprobenmittelwert $\bar{x}$, Standardabweichung $\sigma$, Stichprobengröße $n$ und kritischem Z-Wert $z^*$:

Standardfehler:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Fehlertoleranz:

$$ME = z^* \times SE = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Konfidenzintervall:

$$CI = \bar{x} \pm ME = \left[\bar{x} - z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$$

Kritische Z-Werte (Standardnormalverteilung):

Konfidenzniveau	$z^*$
90 %	1,6449
95 %	1,9600
99 %	2,5758

Korrekte Interpretation

Das häufigste Missverständnis: „Es gibt eine 95-%-Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Mittelwert in diesem Intervall liegt." Das ist falsch. Der wahre Populationsmittelwert $\mu$ ist eine feste (unbekannte) Konstante – er ist keine Zufallsgröße. Das Intervall selbst ist die Zufallsgröße.

Die korrekte Interpretation: Würde man den Stichprobenprozess viele Male wiederholen und jedes Mal ein 95-%-Konfidenzintervall berechnen, würden etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Mittelwert enthalten. Das konkrete Intervall enthält $\mu$ entweder oder nicht – dieser Sachverhalt ist unbekannt.

Praktische Konsequenz: Im Schnitt trifft 1 von 20 solchen Intervallen den wahren Wert nicht.

Z-Verteilung vs. t-Verteilung

Dieser Rechner verwendet die Z-Verteilung (Standardnormalverteilung). Sie ist geeignet, wenn:

• die Populationsstandardabweichung $\sigma$ bekannt ist, oder
• die Stichprobengröße groß ist ($n \geq 30$), sodass der Zentrale Grenzwertsatz eine annähernde Normalverteilung garantiert

Wenn $\sigma$ unbekannt und $n < 30$ ist, wird die t-Verteilung mit $n - 1$ Freiheitsgraden verwendet. Die t-Verteilung hat schwerere Tails und liefert breitere (konservativere) Intervalle. Für $n \geq 30$ ist der Unterschied zwischen Z und t vernachlässigbar.

Einfluss der Stichprobengröße auf das Intervall

Die Fehlertoleranz nimmt mit wachsendem $\sqrt{n}$ ab. Um sie zu halbieren, ist die vierfache Stichprobengröße erforderlich – eine zentrale Einschränkung beim Studiendesign.

Stichprobengröße	ME (95 %, σ = 10)
n = 25	±3,92
n = 100	±1,96
n = 400	±0,98
n = 1600	±0,49

Rechenbeispiel: Analyse von Klausurpunkten

Eine Lehrkraft wählt zufällig 35 Klausuren aus einer Klasse aus. Der Stichprobenmittelwert beträgt 47,3 Punkte bei einer Standardabweichung von 11,8.

Standardfehler: $SE = 11{,}8 / \sqrt{35} \approx 1{,}994$

95-%-Konfidenzintervall: $ME = 1{,}96 \times 1{,}994 \approx 3{,}91$

$$CI = [47{,}3 - 3{,}91,\ 47{,}3 + 3{,}91] = [43{,}4,\ 51{,}2]$$

Interpretation: „Auf Basis dieser 35 Klausuren schätzen wir, dass der Klassendurchschnitt mit 95-%-Konfidenz zwischen 43,4 und 51,2 Punkten liegt."

Was ändert sich bei 99 % Konfidenz? Das Intervall wird breiter: $ME = 2{,}576 \times 1{,}994 \approx 5{,}14$, Ergebnis: $[42{,}2,\ 52{,}4]$. Mehr Konfidenz bedeutet stets ein breiteres Intervall.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall?

Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet nicht, dass der wahre Mittelwert mit 95-%-Wahrscheinlichkeit in diesem Bereich liegt. Der wahre Populationsmittelwert ist eine feste Größe – er liegt entweder in einem gegebenen Intervall oder nicht.

Die korrekte Interpretation lautet: Würde man das Stichprobenverfahren viele Male wiederholen und jedes Mal ein Konfidenzintervall berechnen, würden 95 % dieser Intervalle den wahren Populationsmittelwert enthalten. Das berechnete Intervall ist eines davon.

Wie berechnet man die Fehlertoleranz?

Fehlertoleranz = z* × (σ ÷ √n). Dabei ist z* der kritische Z-Wert für das gewählte Konfidenzniveau (1,645 für 90 %, 1,960 für 95 %, 2,576 für 99 %), σ die Standardabweichung und n die Stichprobengröße. Beispiel für σ = 11,8 und n = 35 bei 95 %: SE = 11,8 ÷ √35 ≈ 1,994; Fehlertoleranz = 1,960 × 1,994 ≈ 3,91.

Was ist der Unterschied zwischen Konfidenzintervall und Prognoseintervall?

Ein Konfidenzintervall schätzt, in welchem Bereich der Populationsmittelwert liegt. Ein Prognoseintervall schätzt, in welchem Bereich ein einzelner neuer Messwert zu erwarten ist. Prognoseintervalle sind stets breiter, weil sie neben der Unsicherheit des Mittelwerts auch die Streuung einzelner Beobachtungen berücksichtigen. Bei einer Normalverteilung entspricht ein 95-%-Prognoseintervall ungefähr x̄ ± 2σ.

Wann verwende ich die t- statt der Z-Verteilung?

Die t-Verteilung (t-Wert statt Z-Wert) sollte verwendet werden, wenn: (1) die Populationsstandardabweichung σ unbekannt ist und aus der Stichprobe geschätzt wird, oder (2) die Stichprobengröße klein ist (n < 30) und die Normalverteilung der Grundgesamtheit nicht gesichert ist.

Bei großen Stichproben (n ≥ 30) nähert sich die t-Verteilung der Normalverteilung an, sodass der Z-Wert eine gute Näherung liefert. Dieser Rechner verwendet die Z-Verteilung, die bei bekanntem σ oder n ≥ 30 geeignet ist.