Standardfehler des Mittelwerts
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| Stichproben-Standardabweichung | 12 |
|---|---|
| Stichprobengröße | 36 |
| Konfidenzniveau | 95% |
| Stichprobenmittelwert | 100 |
Standardfehler des Mittelwerts
Berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwerts (SEM) aus Standardabweichung und Stichprobengröße mit SEM = s/√n und bilden Sie das Konfidenzintervall x̄ ± z·SEM. Geben Sie Standardabweichung, Stichprobengröße, Konfidenzniveau und Stichprobenmittelwert ein.
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Was dieser Rechner leistet
Dieser Rechner ermittelt den Standardfehler des Mittelwerts (SEM) aus Standardabweichung und Umfang einer Stichprobe und bildet das Konfidenzintervall um den Stichprobenmittelwert. Geben Sie Standardabweichung, Stichprobengröße, Konfidenzniveau und den beobachteten Stichprobenmittelwert ein.
Was der Standardfehler des Mittelwerts ist
Wenn Sie einen Mittelwert aus einer Stichprobe schätzen, ist diese Schätzung nie exakt – eine andere Zufallsstichprobe ergäbe einen leicht abweichenden Mittelwert. Der Standardfehler des Mittelwerts quantifiziert diese Unsicherheit: Er ist die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des Mittelwerts, also wie stark der Stichprobenmittelwert von Stichprobe zu Stichprobe schwankt.
Ein kleiner Standardfehler bedeutet, dass Ihr Stichprobenmittelwert den Populationsmittelwert eng eingrenzt; ein großer bedeutet, dass die Schätzung locker ist. Er ist die zentrale Zutat für Konfidenzintervalle und Hypothesentests über einen Mittelwert.
Die Formel
SEM=ns- SEM — der Standardfehler des Mittelwerts
- s — die Stichproben-Standardabweichung
- n — die Stichprobengröße
Die Standardabweichung misst die Streuung der Rohdaten; die Division durch wandelt diese in die Streuung des Mittelwerts um. Das Mitteln vieler Beobachtungen hebt individuelles Rauschen auf, sodass der Mittelwert stabiler ist als ein einzelner Datenpunkt – und je mehr Sie mitteln, desto stabiler wird er.
Konfidenzintervall
Sobald Sie den Standardfehler haben, ist ein Konfidenzintervall für den Populationsmittelwert der Stichprobenmittelwert plus/minus einem kritischen Wert mal dem Standardfehler:
xˉ±z⋅SEMDer kritische Wert stammt aus der Standardnormalverteilung und wird durch das Konfidenzniveau bestimmt (1,645 für 90 %, 1,96 für 95 %, 2,576 für 99 %). Bei 95 % Konfidenz heißt das: Würde die Studie viele Male wiederholt, enthielten etwa 95 % der so gebildeten Intervalle den wahren Populationsmittelwert.
Standardfehler versus Standardabweichung
Beide messen „Streuung“ und werden daher leicht verwechselt, beschreiben aber Unterschiedliches:
| Größe | Streuung von… | Verhalten bei wachsendem n |
|---|---|---|
| Standardabweichung (s) | einzelnen Beobachtungen einer Stichprobe | bleibt ungefähr konstant |
| Standardfehler (SEM) | dem Stichprobenmittelwert über Stichproben | schrumpft gegen null (∝ 1/√n) |
Mehr Daten machen einzelne Werte nicht weniger variabel, daher ist die Standardabweichung stabil. Sie machen aber den Mittelwert zuverlässiger, daher fällt der Standardfehler weiter.
Warum der Standardfehler mit √n schrumpft
Weil die Stichprobengröße unter einer Wurzel steht, fällt der Standardfehler proportional zu statt umgekehrt proportional zu . Das erzeugt abnehmenden Ertrag:
| Stichprobengröße n | Relativer Standardfehler |
|---|---|
| 100 | 1,00 |
| 400 | 0,50 |
| 1.600 | 0,25 |
| 6.400 | 0,125 |
Um den Standardfehler zu halbieren, muss die Stichprobe vervierfacht werden. Jede weitere Einheit an Präzision wird zunehmend teurer.
Rechenbeispiel
Angenommen, eine Stichprobe vom Umfang 36 hat eine Standardabweichung von 12 und einen Mittelwert von 100, und ein 95-%-Konfidenzintervall wird gesucht. Der kritische Wert ist 1,96:
SEMxˉ±z⋅SEM=ns=3612=612=2=100±1,96×2=100±3,92=(96,08, 103,92)Der Standardfehler des Mittelwerts ist 2, und das 95-%-Konfidenzintervall reicht von 96,08 bis 103,92. Auf Basis dieser Stichprobe liegt der Populationsmittelwert plausibel irgendwo in diesem Bereich.
Wenn die Standardabweichung aus einer kleinen Stichprobe geschätzt wird
Das obige Intervall verwendet den Normalwert , was angemessen ist, wenn die Populations-Standardabweichung bekannt oder die Stichprobe groß genug ist, dass ein verlässlicher Ersatz ist. Eine gängige Faustregel ist .
Wird aus einer kleinen Stichprobe geschätzt, ersetzen Sie durch einen Wert der t-Verteilung, die schwerere Ränder hat, um die zusätzliche Unsicherheit zu berücksichtigen:
xˉ±tn−1⋅nsDer t-Wert hängt von den Freiheitsgraden ab, einem weniger als die Stichprobengröße, und ist stets etwas größer als der entsprechende z-Wert, sodass er das Intervall verbreitert. Mit wachsendem n konvergiert der t-Wert wieder gegen z.
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Das Konfidenzintervall-Rechner bildet das vollständige Intervall um Ihre Schätzung für Mittelwerte und Anteile, und der Fehlermarge berechnen gibt die Halbbreite direkt aus. Um zuerst die Standardabweichung aus Rohdaten zu bestimmen, nutzen Sie den Varianz und Standardabweichung berechnen.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist der Standardfehler des Mittelwerts?
Der Standardfehler des Mittelwerts (SEM) misst, wie präzise ein Stichprobenmittelwert den wahren Populationsmittelwert schätzt. Er ist die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des Mittelwerts – also wie stark der Stichprobenmittelwert schwanken würde, wenn man wiederholt neue Stichproben gleicher Größe aus der Population ziehen würde.
Ein kleiner Standardfehler bedeutet, dass der Stichprobenmittelwert eine präzise Schätzung ist; ein großer bedeutet, dass er stärker abweichen kann. Er wird als Stichproben-Standardabweichung geteilt durch die Wurzel der Stichprobengröße berechnet.
Wie unterscheidet sich der Standardfehler von der Standardabweichung?
Die Standardabweichung (s) beschreibt die Streuung der einzelnen Beobachtungen innerhalb einer Stichprobe – wie weit ein typischer Datenpunkt vom Mittelwert entfernt liegt. Der Standardfehler (SEM) beschreibt die Streuung des Stichprobenmittelwerts über hypothetisch wiederholte Stichproben – wie weit ein typischer Stichprobenmittelwert vom wahren Populationsmittelwert entfernt liegt.
Da SEM = s/√n gilt, ist der Standardfehler stets kleiner als die Standardabweichung (für n > 1) und schrumpft mit wachsender Stichprobe, während die Standardabweichung ungefähr konstant bleibt, egal wie viele Beobachtungen erhoben werden.
Wie beeinflusst die Stichprobengröße den Standardfehler?
Der Standardfehler schrumpft proportional zu 1/√n, nicht zu 1/n. Da die Stichprobengröße unter einer Wurzel steht, muss man die Stichprobe vervierfachen, um den Standardfehler zu halbieren. Von 100 auf 400 Beobachtungen halbiert den Standardfehler; von 400 auf 1.600 halbiert ihn erneut. Dieses Wurzelgesetz erklärt, warum jede weitere Einheit an Präzision zunehmend teurer wird.
Wann sollte ich z statt t für das Intervall verwenden?
Dieser Rechner verwendet den z-Wert der Standardnormalverteilung (1,645, 1,96, 2,576 für 90 %, 95 %, 99 %), was angemessen ist, wenn die Populations-Standardabweichung bekannt oder die Stichprobe groß ist – eine gängige Faustregel ist n ≥ 30.
Wird die Standardabweichung aus einer kleinen Stichprobe geschätzt, verwenden Sie stattdessen die t-Verteilung. Sie hat schwerere Ränder und einen kritischen Wert, der von den Freiheitsgraden (n − 1) abhängt, und ergibt ein etwas breiteres Intervall. Mit wachsendem n nähert sich der t-Wert dem z-Wert an.
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