Erstellt am: 13. Juni 2026 um 18:01

Erwartungswert berechnen

Eingaben

Ergebnisse	10, -5, 20
Wahrscheinlichkeiten	0.5, 0.3, 0.2

Ergebnisse

Summe der Wahrscheinlichkeiten	1
Anzahl der Ergebnisse	3

Visualisierung

Wahrscheinlichkeit 0

Mathematik

Erwartungswert berechnen

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung online berechnen — Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten eingeben.

Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten

Ergebnisse

Wahrscheinlichkeiten

Erwartungswert

Details

Varianz

Standardabweichung

Summe der Wahrscheinlichkeiten

Anzahl der Ergebnisse

Formeln

Erwartungswert E[X]

\begin{aligned} E[X] &= \sum_{i} p_i \cdot x_i \\ &= ? \end{aligned}

Varianz σ²

\begin{aligned} \sigma^2 &= \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2 \\ &= ? \end{aligned}

Standardabweichung σ

\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{?} \\ &= ? \end{aligned}

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrscheinlichkeit 0

Zuletzt aktualisiert: 2026-06-04

Definition

Der Erwartungswert E[X] einer diskreten Zufallsvariablen ist das wahrscheinlichkeitsgewichtete Mittel aller möglichen Ergebnisse. Für eine Verteilung mit den Ergebnissen $x_1, x_2, \ldots, x_n$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, \ldots, p_n$ gilt:

E[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot x_i

Jedes Ergebnis $x_i$ geht gewichtet mit seiner Wahrscheinlichkeit $p_i$ in die Summe ein. Dabei muss $\sum p_i = 1$ gelten, damit das Modell eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt.

Formel und Rechenbeispiel

Betrachtet sei ein Zufallsexperiment mit drei möglichen Ergebnissen:

Ergebnis ( $x_i$ )	Wahrscheinlichkeit ( $p_i$ )
+10	0,50
−5	0,30
+20	0,20

Erwartungswert:

E[X] = 10 \cdot 0{,}50 + (-5) \cdot 0{,}30 + 20 \cdot 0{,}20 = 5{,}00 - 1{,}50 + 4{,}00 = 7{,}50

Über viele Wiederholungen hinweg nähert sich das arithmetische Mittel der Ergebnisse dem Wert 7,50 an.

Varianz — die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert:

\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot (x_i - E[X])^2

\sigma^2 = 0{,}50 \cdot (10 - 7{,}5)^2 + 0{,}30 \cdot (-5 - 7{,}5)^2 + 0{,}20 \cdot (20 - 7{,}5)^2

= 0{,}50 \cdot 6{,}25 + 0{,}30 \cdot 156{,}25 + 0{,}20 \cdot 156{,}25 = 3{,}125 + 46{,}875 + 31{,}250 = 81{,}25

Standardabweichung $\sigma = \sqrt{81{,}25} \approx 9{,}01$ : Sie gibt die typische Abweichung eines einzelnen Ergebnisses vom Erwartungswert in der Originaleinheit an.

Varianz und Standardabweichung

Zwei Verteilungen können denselben Erwartungswert haben und sich dennoch grundlegend unterscheiden. Ein festverzinsliches Wertpapier, das mit Sicherheit 100 € ausschüttet ( $E[X] = 100$ , $\sigma = 0$ ), und eine Lotterie, die mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Gewinn von 200 € oder nichts zahlt ( $E[X] = 100$ , $\sigma = 100$ ), sind in ihrer Erwartung gleichwertig — in ihrem Risikoprofil jedoch grundverschieden.

Die Varianz misst die Streuung in quadrierten Einheiten. Die Standardabweichung hebt diese Quadrierung auf und hat damit dieselbe Einheit wie die Ergebniswerte selbst. In der Risikoanalyse und der Statistik wird die Standardabweichung daher bevorzugt als Streuungsmaß angegeben.

Faires Spiel

Ein Spiel gilt als fair, wenn $E[X] = 0$ : Im Langfristmittel gewinnt weder Spieler noch Anbieter. Die meisten Glücksspiele sind so konzipiert, dass $E[X] < 0$ für den Teilnehmenden gilt — der Anbieter erzielt damit einen systematischen Gewinn. Mit diesem Rechner lässt sich prüfen, ob eine Auszahlungsstruktur fair, vorteilhaft oder nachteilig ist.

Gesetz der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Stichprobenmittelwert bei wiederholter, unabhängiger Durchführung desselben Zufallsexperiments fast sicher gegen E[X] konvergiert. Dieses Prinzip ist die theoretische Grundlage der Versicherungsmathematik, der Finanzmärkte und aller statistischen Planungsmodelle, die auf der Mittelung über viele Ereignisse beruhen.

Für einen einzelnen Versuch oder eine kleine Stichprobe gilt dies jedoch nicht: Ein Zufallsexperiment mit $E[X] = +5$ kann über Dutzende von Durchführungen hinweg durchaus negative Ergebnisse liefern. Die Standardabweichung σ quantifiziert genau diese kurzfristige Schwankungsbreite. Bei einer Normalverteilung fallen etwa 68 % der Einzelergebnisse in das Intervall $E[X] \pm \sigma$ und etwa 95 % in $E[X] \pm 2\sigma$ .

Anwendung des Rechners

Ergebniswerte und Wahrscheinlichkeiten werden jeweils als kommagetrennte Liste eingegeben. Beide Listen müssen dieselbe Länge haben. Alle Wahrscheinlichkeiten müssen nichtnegativ sein und sich zu 1 addieren; der Rechner gibt eine Warnung aus, sobald die Summe um mehr als 0,001 von 1 abweicht. Ergebniswerte können beliebige reelle Zahlen sein, auch negative.

Das Balkendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses und gibt so einen unmittelbaren visuellen Eindruck davon, wo die Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert ist.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen?

Der Erwartungswert E[X] ist das wahrscheinlichkeitsgewichtete Mittel aller möglichen Ergebnisse einer diskreten Zufallsvariablen. Bei einem Spiel, das mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Gewinn von 10 € und mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Verlust von 5 € liefert, ergibt sich E[X] = 10 × 0,5 + (−5) × 0,5 = 2,50 €. Über viele Wiederholungen hinweg nähert sich der Stichprobenmittelwert diesem Wert an. Der Erwartungswert ist das Fundament der Risikoanalyse, der Versicherungsmathematik und der Entscheidungstheorie unter Unsicherheit.

Sollte man jede Situation mit positivem Erwartungswert eingehen?

Ein positiver Erwartungswert ist ein wichtiges, aber kein hinreichendes Kriterium für eine Entscheidung. Entscheidend ist auch die Varianz: Eine Wette mit E[X] = 1 € und einer 10-prozentigen Chance auf den Verlust des gesamten Vermögens ist trotz positiver Erwartung ruinös. Die Nutzentheorie — insbesondere das Prinzip des abnehmenden Grenznutzens von Vermögen — erklärt, warum rationale Entscheider manche Situationen mit positivem Erwartungswert ablehnen. In der Praxis ist ein positiver Erwartungswert ein starkes Signal zum Handeln, wenn der Einsatz klein im Verhältnis zum Gesamtvermögen ist und die Situation viele Male wiederholt werden kann.

Warum sagt der Erwartungswert nichts über einzelne Ergebnisse aus?

Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen Durchschnitt über viele unabhängige Versuche, nicht das Ergebnis eines einzelnen Versuchs. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Stichprobenmittelwert mit wachsender Versuchsanzahl fast sicher gegen E[X] konvergiert — bei wenigen Versuchen kann das tatsächliche Ergebnis jedoch erheblich abweichen. Eine Münze, die bei Kopf 10 € und bei Zahl 0 € zahlt, hat E[X] = 5 € je Wurf; bei 10 Würfen sind Gesamtbeträge zwischen 0 € und 100 € möglich. Die Standardabweichung σ quantifiziert genau diese kurzfristige Unsicherheit.

Was bedeutet es, wenn die Wahrscheinlichkeiten nicht 1 ergeben?

Eine gültige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung erfordert nichtnegative Wahrscheinlichkeiten, die sich zu genau 1 addieren. Ergibt die Summe weniger als 1, ist das Modell unvollständig — ein oder mehrere Ergebnisse fehlen oder ihre Wahrscheinlichkeiten sind zu niedrig angesetzt. Übersteigt die Summe 1, ist das Modell in sich widersprüchlich. In beiden Fällen liefert die Erwartungswertformel zwar einen arithmetischen Wert, der jedoch nicht dem wahren Erwartungswert einer wohldefinierten Zufallsvariablen entspricht. Dieser Rechner gibt eine Warnung aus, sobald die Summe um mehr als 0,001 von 1 abweicht.

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