Zuletzt aktualisiert: 2026-07-02

Die Brennpunkte einer Ellipse

Eine Ellipse in Standardlage wird durch

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

beschrieben, wobei $a$ die Halbachse in x-Richtung und $b$ die Halbachse in y-Richtung ist. Jede Ellipse besitzt zwei besondere innere Punkte, ihre Brennpunkte. Sie machen die Ellipse zur Ellipse: Für jeden Punkt auf der Kurve ist die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten konstant. Spannt man eine Fadenschlaufe um zwei Nadeln und zieht sie mit einem Stift straff nach, entsteht eine Ellipse, deren Brennpunkte die Nadeln sind.

Dieses Werkzeug nimmt $a$ und $b$ und liefert den Brennweitenabstand, die Brennpunkte selbst, die Exzentrizität, die Scheitelpunkte sowie die Längen von Haupt- und Nebenachse.

Große und kleine Halbachse

Die längere der beiden Achsen ist die Hauptachse, die kürzere die Nebenachse; die Hälfte jeder Achse ist eine Halbachse. Um die Formeln von der Ausrichtung unabhängig zu halten, nennen wir die größere Halbachse $A$ und die kleinere $B$:

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

Die Brennpunkte liegen immer auf der Hauptachse. Ist $a > b$, verläuft die Hauptachse waagerecht; ist $b > a$, senkrecht.

Brennweitenabstand

Der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Brennpunkt, $c$, ergibt sich aus den Halbachsen:

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

Da $A \ge B$ ist, wird der Ausdruck unter der Wurzel nie negativ. Bei einer liegenden Ellipse liegen die Brennpunkte bei $(\pm c, 0)$, bei einer stehenden bei $(0, \pm c)$.

Exzentrizität

Die Exzentrizität misst, wie weit die Ellipse von einem Kreis abweicht:

$e = \frac{c}{A}$

Es gilt stets $0 \le e < 1$. Bei $a = b$ sind die Halbachsen gleich, $c = 0$ und $e = 0$ — die Ellipse ist ein Kreis. Wächst eine Achse gegenüber der anderen, strebt $e$ gegen $1$ und die Ellipse wird lang und schmal.

Scheitelpunkte und Achsenlängen

Die Scheitelpunkte sind die Endpunkte der Hauptachse, im Abstand $A$ vom Mittelpunkt: $(\pm A, 0)$ bei einer liegenden, $(0, \pm A)$ bei einer stehenden Ellipse. Die Endpunkte der Nebenachse heißen Nebenscheitel. Die vollen Achsenlängen sind

$\text{Hauptachse} = 2A \qquad \text{Nebenachse} = 2B$

Rechenbeispiel

Aufgabe: Bestimme Brennpunkte, Exzentrizität und Achsenlängen von $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Schritt 1 — Halbachsen ablesen: $a^2 = 25$, also $a = 5$, und $b^2 = 9$, also $b = 3$. Da $a > b$, ist die Hauptachse waagerecht mit $A = 5$ und $B = 3$.

Schritt 2 — Brennweitenabstand:

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Schritt 3 — Brennpunkte: auf der waagerechten Hauptachse, bei $(\pm 4, 0)$, also $F_1 = (-4, 0)$ und $F_2 = (4, 0)$.

Schritt 4 — Exzentrizität:

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Schritt 5 — Scheitelpunkte und Achsen: Scheitelpunkte bei $(\pm 5, 0)$; Hauptachse $2A = 10$, Nebenachse $2B = 6$.

Diese Ellipse hat also die Brennpunkte $(-4, 0)$ und $(4, 0)$, die Exzentrizität $0{,}8$ und Achsen der Länge $10$ und $6$.

Stehende Ellipsen

Ist $b > a$, ist die Ellipse höher als breit, sodass die Hauptachse senkrecht verläuft. Die Rollen tauschen einfach: $A = b$, $B = a$, und die Brennpunkte wandern auf die y-Achse zu $(0, \pm c)$. So hat $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ die Werte $A = 5$ und $B = 3$, dasselbe $c = 4$ wie zuvor, aber Brennpunkte bei $(0, -4)$ und $(0, 4)$. Das Werkzeug wählt die Ausrichtung automatisch anhand der größeren Halbachse.

Warum die Abstandssumme konstant ist

Die definierende Eigenschaft $r_1 + r_2 = 2A$ hängt direkt mit $c$ zusammen. An einem Scheitelpunkt der Hauptachse ist der eine Brennstrahl $A + c$, der andere $A - c$, ihre Summe also $2A$. An einem Nebenscheitel sind die beiden Strahlen aus Symmetriegründen gleich und laufen je von einem Brennpunkt über die Strecke $\sqrt{B^2 + c^2}$; setzt man diese gleich $A$, erhält man $A^2 = B^2 + c^2$, was sich zu $c = \sqrt{A^2 - B^2}$ umstellen lässt. Diese eine Beziehung verknüpft Brennpunkte, Achsen und Exzentrizität.