Zuletzt aktualisiert: 2026-06-23

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes ist eine Regel, mit der eine Wahrscheinlichkeit angepasst wird, sobald neue Hinweise vorliegen. Er nimmt eine Ausgangsannahme darüber, wie wahrscheinlich etwas ist, verbindet sie damit, wie stark der Hinweis in die eine oder andere Richtung weist, und liefert eine revidierte Annahme. Dieser Rechner wendet ihn auf den häufigsten Fall an — einen diagnostischen Test — und macht aus der Prävalenz einer Erkrankung und der Genauigkeit eines Tests die Wahrscheinlichkeit, dass ein positives Ergebnis echt ist.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ zutrifft, sofern $B$ beobachtet wurde. Sie unterscheidet sich von der unbedingten Wahrscheinlichkeit $P(A)$, weil die Beobachtung von $B$ Information trägt. Ein positiver medizinischer Test macht eine Erkrankung nicht sicher; er verschiebt die Wahrscheinlichkeit nach oben, und zwar um einen Betrag, der sowohl von der Güte des Tests als auch von der ursprünglichen Häufigkeit der Erkrankung abhängt. Der verwandte Rechner zur Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes — Rechner arbeitet direkt mit $P(A \cap B)$ und $P(B)$, wenn diese bekannt sind.

Die Formel

Der Satz von Bayes verknüpft die beiden bedingten Richtungen:

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

Jeder Term trägt einen Namen:

• Die A-priori-Wahrscheinlichkeit $P(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ vor dem Hinweis — bei einem Test die Prävalenz der Erkrankung.
• Die Likelihood $P(B|A)$ ist, wie wahrscheinlich der Hinweis unter $A$ ist — die Sensitivität des Tests, also die Richtig-positiv-Rate.
• Die Randwahrscheinlichkeit $P(B)$ ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, den Hinweis überhaupt zu beobachten, über die Fälle hinweg, in denen $A$ zutrifft und in denen nicht. Sie entwickelt sich zu $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$, wobei $P(B|\lnot A)$ die Falsch-positiv-Rate ist.
• Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ ist das Ergebnis: die Wahrscheinlichkeit von $A$ nach dem Hinweis.

Der Basisratenfehler

Der häufigste Fehler beim Lesen eines Testergebnisses besteht darin, die Genauigkeit des Tests mit der Wahrscheinlichkeit zu verwechseln, dass ein positives Ergebnis echt ist. Das sind verschiedene Fragen, und bei einer seltenen Erkrankung haben sie sehr verschiedene Antworten. Ein Test, der zu 90 % sensitiv und zu 95 % spezifisch ist, klingt zuverlässig; betrifft die Erkrankung jedoch nur 1 von 100 Personen, wirkt die kleine Falsch-positiv-Rate auf die 99 Gesunden — und davon gibt es so viele, dass die Fehlalarme die echten Positiven um ein Mehrfaches übertreffen. Diese Erkrankungshäufigkeit zu übersehen, heißt Basisratenfehler.

Rechenbeispiel

Eine Erkrankung betreffe 1 % der getesteten Bevölkerung, der Test erkenne 90 % der echten Fälle und markiere fälschlich 5 % der Gesunden. Die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist eine Prävalenz von 0,01, die Sensitivität beträgt 0,90 und die Falsch-positiv-Rate 0,05:

Ein positives Ergebnis hebt die Wahrscheinlichkeit der Erkrankung damit von 1 % auf rund 15 %. Der Test hat viel bewirkt — eine Versechzehnfachung — und dennoch lässt ein einzelnes positives Ergebnis den Fall eher unzutreffend als zutreffend erscheinen. Deshalb folgt auf das Screening einer seltenen Erkrankung in der Regel ein zweiter, spezifischerer Test, statt das Ergebnis als endgültig zu behandeln.

Erweiterungen

Derselbe Satz lässt sich in Chancenform schreiben, was die Aktualisierung oft leichter nachvollziehbar macht: Die A-posteriori-Chance ist gleich der A-priori-Chance multipliziert mit dem Likelihood-Quotienten $P(B|A) / P(B|\lnot A)$. Im obigen Beispiel beträgt die A-priori-Chance eins zu neunundneunzig und der Likelihood-Quotient achtzehn, was eine A-posteriori-Chance von achtzehn zu neunundneunzig ergibt, also etwa 15 % — dasselbe Ergebnis. Das eng verwandte Chancenverhältnis (Odds Ratio berechnen) vergleicht zwei solche Quotienten direkt.

Der Satz von Bayes erlaubt auch eine schrittweise Aktualisierung: Nach einem Test wird die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit zur A-priori-Wahrscheinlichkeit für den nächsten. Zwei unabhängige positive Tests, nacheinander angewandt, treiben die Wahrscheinlichkeit weit höher als jeder einzelne — genau so gewinnt die Bestätigungsdiagnostik ihr Vertrauen. Wann immer sich Hinweise Stück für Stück ansammeln, gilt dieselbe Regel bei jedem Schritt, wobei die Schlussfolgerung von gestern den Ausgangspunkt von heute bildet.