Der Abstand zweier Punkte P₁(x₁, y₁) und P₂(x₂, y₂) in der Koordinatenebene ergibt sich mit der Abstandsformel: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Sie folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck, das durch die horizontale und vertikale Differenz der beiden Punkte gebildet wird.

Zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck mit P₁ und P₂ als Endpunkte der Hypotenuse, haben die Katheten die Längen |Δx| und |Δy|. Der Satz des Pythagoras liefert d² = Δx² + Δy², also d = √(Δx² + Δy²). Die Abstandsformel ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras in Koordinatenschreibweise.

Nein — der Abstand ist symmetrisch. Werden P₁ und P₂ vertauscht, ändern sich die Vorzeichen von Δx und Δy, aber durch das Quadrieren werden beide positiv, sodass d = √(Δx² + Δy²) unverändert bleibt. Der Abstand von A nach B ist stets gleich dem Abstand von B nach A.

Im dreidimensionalen Raum gilt für P₁(x₁, y₁, z₁) und P₂(x₂, y₂, z₂): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). Das Prinzip ist dasselbe — statt eines rechtwinkligen Dreiecks bildet man einen rechtwinkligen Quader, dessen Raumdiagonale den gesuchten Abstand darstellt. Dieser Rechner ist auf 2D beschränkt; für 3D fügt man einfach das quadrierte z-Inkrement unter die Wurzel.