Zuletzt aktualisiert: 2026-05-20

Der Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf — auch Trunkus oder abgestumpfter Kegel genannt — entsteht, wenn man von einem geraden Kreiskegel den oberen Teil durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt abtrennt. Das Ergebnis ist ein Körper mit zwei parallelen Kreisflächen: einer größeren Grundfläche mit Radius R und einer kleineren Deckfläche mit Radius r, verbunden durch eine gebogene Mantelfläche.

Die senkrechte Höhe zwischen den beiden Kreisebenen wird als h bezeichnet.

Im Alltag ist diese Form allgegenwärtig: Eimer, Trichter, Blumentöpfe, Trinkbecher aus Pappe — sie alle haben die Gestalt eines dünnwandigen Kegelstumpfs.

Formeln

Alle vier Berechnungsgrößen ergeben sich direkt aus R, r und h.

Mantellinie — die geradlinige Strecke entlang der Seitenfläche vom unteren zum oberen Kreisrand:

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

Das ist der Satz des Pythagoras angewandt auf das rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten die Höhendifferenz der Radien und die senkrechte Höhe sind.

Volumen — aus der Differenz zweier Kegelvolumina hergeleitet:

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

Mantelfläche — die gebogene Seitenfläche, aufgerollt ein Kreisringsektor:

$A_{\text{M}} = \pi(R + r)\,l$

Gesamtoberfläche — Mantelfläche zuzüglich beider Kreisflächen:

$A_{\text{ges}} = A_{\text{M}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

Herleitung der Volumenformel

Der Ausdruck (R² + Rr + r²) stammt aus der algebraischen Identität, die bei der Subtraktion des kleinen Kegels vom großen Kegel entsteht. Hat der große Kegel die Gesamthöhe H, dann gilt:

$V_{\text{Stumpf}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

Nach Elimination von H über die Strahlensatzbeziehung H/R = (H − h)/r vereinfacht sich der Ausdruck zur kompakten Formel oben. Die drei Terme R², Rr und r² lassen sich als Grundfläche, geometrisches Mittel beider Kreisflächen und Deckfläche interpretieren, jeweils mit h/3 gewichtet.

Grenzfälle

Der Kegelstumpf ist ein Kegel mit abgeschnittener Spitze. Für r = 0 gehen die Kegelstumpfformeln exakt in die Kegelformeln über (V = πR²h/3, Mantelfläche = πRl). Für r = R entsteht ein Zylinder: Die Mantellinie wird gleich h, das Volumen gleich πR²h und die Mantelfläche gleich 2πRh. Beide Sonderfälle eignen sich zur Überprüfung eigener Berechnungen.

Rechenbeispiel

Ein Kunststoffeimer hat oben einen Außendurchmesser von 30 cm, unten von 24 cm und ist 32 cm hoch. Gesucht: Fassungsvermögen und Mantelfläche.

• R = 15 cm, r = 12 cm, h = 32 cm
• Mantellinie: $l = \sqrt{(15 - 12)^2 + 32^2} = \sqrt{9 + 1024} = \sqrt{1033} \approx 32{,}14$ cm
• Volumen: V = (π × 32/3) × (225 + 180 + 144) = (π × 32/3) × 549 ≈ 18 385 cm³ ≈ 18,4 Liter
• Mantelfläche: A_M = π × (15 + 12) × 32,14 = π × 27 × 32,14 ≈ 2 726 cm²
• Gesamtoberfläche: A_ges = 2 726 + π × 225 + π × 144 ≈ 2 726 + 707 + 452 ≈ 3 885 cm²

Der angegebene Nenninhalt eines Eimers bezieht sich üblicherweise auf den Nutzinhalt bis zur Füllmarke, nicht auf das geometrische Volumen.

Praxisanwendungen

• Eimer und Behälter — das Volumen gibt das Fassungsvermögen an; die Mantelfläche entspricht dem benötigten Kunststoff- oder Blechzuschnitt.
• Lampenschirme — ein konischer Schirm ist ein Kegelstumpf; die Mantelfläche bestimmt den Stoffbedarf.
• Trichter und Silotrichter — kegelstumpfförmige Auslauftrichter in Schüttgutanlagen; das Volumen legt die Speicherkapazität fest.
• Blumentöpfe und Pflanzgefäße — typische Kegelstumpfform; das Volumen bestimmt den Erdvorrat.
• Architektur — abgestumpfte Turmdächer, Kühltürme und Säulenbasen nutzen Kegelstumpfgeometrie.