Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Gerader Kreiskegel

Ein gerader Kreiskegel ist ein rotationssymmetrischer Körper, dessen Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der kreisförmigen Grundfläche liegt. Aus Grundradius und Höhe berechnet der Rechner Volumen, Mantellinie, Mantelfläche und Gesamtoberfläche.

Formeln im Überblick

Für einen Kegel mit Grundradius r und senkrechter Höhe h:

Die Mantellinie

Die Mantellinie l ist die geradlinige Strecke von der Kegelspitze zu einem beliebigen Punkt auf dem Grundkreisrand — gemessen entlang der Oberfläche. Da r, h und l ein rechtwinkliges Dreieck bilden, folgt aus dem Satz des Pythagoras: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Die Mantellinie spielt eine zentrale Rolle, wenn man die Außenfläche eines Kegels berechnen will — etwa für das Zuschneiden von Papier, Blech oder Stoff: Die abgerollte Seitenfläche ergibt einen Kreissektor mit Radius l und Bogenlänge 2πr.

Warum das Kegelvolumen ein Drittel des Zylindervolumens beträgt

Der Faktor 1/3 in V = (1/3)πr²h gehört zu den ältesten Ergebnissen der Raumgeometrie. Euklid bewies in den Elementen (Buch XII, Satz 10): Ein Zylinder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe lässt sich mit genau drei identischen Kegeln auffüllen.

Das lässt sich mit Wasser anschaulich nachvollziehen: Dreimal den Kegel füllen und in den Zylinder schütten — er ist dann randvoll. Mathematisch ergibt sich der Faktor 1/3 beim Integrieren der Querschnittsflächen von der Grundfläche bis zur Spitze.

Rechenbeispiel

Ein typischer Leitkegel (Pylone) hat einen Grundradius von etwa 15 cm und eine Höhe von 70 cm.

Mantellinie: $l = \sqrt{15^2 + 70^2} = \sqrt{225 + 4900} = \sqrt{5125} \approx 71{,}6$ cm

Volumen: V = (1/3) × π × 15² × 70 = (1/3) × π × 15 750 ≈ 16 493 cm³ (≈ 16,5 Liter)

Mantelfläche (das orangefarbene Material): A_M = π × 15 × 71,6 ≈ 3 376 cm²

Gesamtoberfläche (einschließlich Boden): A_ges = π × 15 × (15 + 71,6) ≈ 4 083 cm²

Eine Eistüte hat typischerweise r ≈ 2,5 cm und h ≈ 12 cm — das Volumen beträgt dann etwa 78,5 cm³, also knapp 80 ml (etwa vier Schnapsgläser à 2 cl).

Geltungsbereich: Gerader Kreiskegel

Die Formeln gelten für den geraden Kreiskegel, bei dem die Achse senkrecht zur Grundfläche steht. Beim schiefen Kegel (Spitze seitlich versetzt) bleibt die Volumenformel V = (1/3)πr²h gültig, sofern h die wahre senkrechte Höhe ist — die Mantelflächenformel ist dort jedoch komplizierter. Da Eistüten, Trichter, Pylone und Partyhüte in der Praxis fast immer gerade Kreiskegel sind, sind die Formeln für den geraden Kreiskegel auf nahezu alle Alltagsanwendungen anwendbar.