Zuletzt aktualisiert: 2026-07-02

Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung schreibt eine einzelne rationale Funktion als Summe einfacherer Brüche, deren Nenner die Faktoren des ursprünglichen Nenners sind. Für einen echt gebrochenen Bruch — dessen Zähler kleineren Grad hat als der Nenner — mit zwei verschiedenen Linearfaktoren lautet die Zerlegung

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

In dieser Form lässt sich der Bruch weit leichter integrieren, invers Laplace-transformieren oder in eine Reihe entwickeln.

Das Zuhalteverfahren

Der schnellste Weg zu $A$ und $B$ ist das Zuhalteverfahren (Heaviside-Methode).

Schritt 1 — A bestimmen. Halte den Faktor $(x - r_1)$ im Nenner zu und werte den Rest bei $x = r_1$ aus:

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

Schritt 2 — B bestimmen. Halte den Faktor $(x - r_2)$ zu und werte den Rest bei $x = r_2$ aus:

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

Warum das Verfahren funktioniert

Multipliziere beide Seiten der Zerlegung mit $(x - r_1)$:

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

Setze nun $x = r_1$. Der zweite Term enthält den Faktor $(x - r_1)$ und wird null, sodass unmittelbar $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$ übrig bleibt. Dasselbe Argument mit $(x - r_2)$ isoliert $B$.

Rechenbeispiel

Zerlege $\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Hier ist $p = 3$, $q = -1$, $r_1 = 1$, $r_2 = -2$.

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

Also

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

Probe: über den Hauptnenner zusammengefasst

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

Eine nützliche Kontrolle

Für den Zähler $p\,x + q$ gilt stets $A + B = p$. Der Abgleich des führenden Glieds des rekombinierten Zählers erzwingt, dass die Summe von $A$ und $B$ dem $x$-Koeffizienten des Zählers entspricht — eine schnelle Kontrolle der Lösung.

Verschiedene Nullstellen sind erforderlich

Die Form $A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ setzt zwei verschiedene Linearfaktoren voraus.

Nenner	Richtige Form
$(x - r_1)(x - r_2)$, versch.	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$, doppelt	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

Die Formel des Zuhalteverfahrens dividiert durch $r_1 - r_2$, was bei zusammenfallenden Nullstellen null ist; ein doppelter Faktor braucht die zweite Form und liegt außerhalb dieses Rechners.

Einsatz beim Integrieren

Der größte Nutzen liegt in der Analysis. Eine rationale Funktion ist unangenehm direkt zu integrieren, aber jeder Partialbruch integriert sich sofort:

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

Nach der Zerlegung ist also

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

Anwendungen

• Integration rationaler Funktionen in der Analysis.
• Inverse Laplace-Transformationen in Differentialgleichungen und Regelungstechnik.
• Reihenentwicklungen und erzeugende Funktionen in der Kombinatorik.
• Signalverarbeitung, wo Übertragungsfunktionen in Terme erster Ordnung zerlegt werden.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Partialbruchzerlegung?

Die Partialbruchzerlegung schreibt eine einzelne rationale Funktion als Summe einfacherer Brüche, deren Nenner die Faktoren des ursprünglichen Nenners sind. Für einen echt gebrochenen Bruch (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) mit zwei verschiedenen Linearfaktoren lautet die Zerlegung A/(x − r₁) + B/(x − r₂). In dieser Form lässt sich der Bruch weit leichter integrieren, invers Laplace-transformieren oder in eine Reihe entwickeln.

Wie findet das Zuhalteverfahren A und B?

Um A zu bestimmen, hält man den Faktor (x − r₁) im Nenner zu und wertet den Rest bei x = r₁ aus. Da der zweite Term A·(x − r₁)/(x − r₁) nur überlebt, wenn sein eigener Faktor zugehalten wird, verschwindet bei diesem Wert alles Übrige. Das Ergebnis ist A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂). Symmetrisch gilt B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁). Das Verfahren erspart das Aufstellen und Lösen eines linearen Gleichungssystems.

Warum müssen die beiden Nullstellen verschieden sein?

Die Form A/(x − r₁) + B/(x − r₂) setzt zwei verschiedene Linearfaktoren voraus. Ist r₁ = r₂, so ist der Nenner ein doppelter Faktor (x − r₁)², und die richtige Zerlegung verwendet die Form A/(x − r₁) + B/(x − r₁)². Die Formel des Zuhalteverfahrens dividiert durch (r₁ − r₂), was bei zusammenfallenden Nullstellen null ist; daher verlangt dieser Rechner verschiedene Nullstellen.

Wie wird das beim Integrieren verwendet?

Eine rationale Funktion lässt sich nur schwer direkt integrieren, doch jeder Partialbruch A/(x − r) integriert sich sofort zu A·ln|x − r| + C. Ist (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) also in A/(x − r₁) + B/(x − r₂) zerlegt, lautet das Integral A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C. Dies ist der Standard-Erstschritt beim Integrieren rationaler Funktionen in der Analysis.