Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Kartenwahrscheinlichkeit berechnen

Eingaben

Deckgröße	52
Gesuchte Karten im Deck	4
Handgröße	5
Gewünschte Treffer	2

Visualisierung

P(Treffer = k) 0

Kartenwahrscheinlichkeit berechnen

Exakte Kartenzieh-Wahrscheinlichkeit mit der hypergeometrischen Verteilung — ohne Zurücklegen. Für Poker, Skat, Blackjack und alle Kartenspiele.

Ziehkonfiguration

Deckgröße

≥ 1

Gesuchte Karten im Deck

Handgröße

≥ 1

Gewünschte Treffer

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P(genau k Treffer)

Details

P(mindestens k Treffer)

Erwartete Treffer

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \\ &= \dfrac{\binom{4}{2}\binom{52-4}{5-2}}{\binom{52}{5}} \\ &= ? \end{aligned}

Erwartete Trefferzahl

\begin{aligned} E[X] &= \dfrac{nK}{N} \\ &= \dfrac{(5)(4)}{52} \\ &= ? \end{aligned}

Trefferverteilung

P(Treffer = k) 0

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Wahrscheinlichkeit beim Kartenziehen verstehen

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit genau $k$ Elemente eines bestimmten Typs zu erhalten. Beim Kartenziehen verändert jede entnommene Karte die Zusammensetzung des Restdecks — die einzelnen Züge sind daher statistisch nicht unabhängig. Der Rechner wendet diese Verteilung exakt an, für beliebige Kombinationen aus Deckgröße, Anzahl gesuchter Karten, Handgröße und gewünschter Trefferzahl.

Die hypergeometrische Formel

Bei einem Deck mit $N$ Karten, von denen $K$ als Treffer gelten, und $n$ Karten, die ohne Zurücklegen gezogen werden, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer wie folgt:

P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

Jeder Term hat eine direkte kombinatorische Bedeutung:

$\binom{K}{k}$ — Anzahl der Möglichkeiten, genau $k$ Treffer aus den $K$ vorhandenen auszuwählen
$\binom{N-K}{n-k}$ — Anzahl der Möglichkeiten, die verbleibenden $n-k$ Plätze mit Nicht-Treffern zu füllen
$\binom{N}{n}$ — Gesamtzahl der Möglichkeiten, irgendwelche $n$ Karten aus $N$ zu ziehen

Die Formel zählt günstige Blätter und teilt sie durch alle möglichen Blätter.

Rechenbeispiel: Zwei Asse in einem 5-Karten-Pokerblatt

Standardmäßige Pokerverteilung: $N = 52$, $K = 4$ (Asse), $n = 5$, $k = 2$.

P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6 \times 17\,296}{2\,598\,960} \approx 0{,}03993

Ungefähr 4,0 % aller 5-Karten-Blätter enthalten genau zwei Asse. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Ass liegt mit etwa 34,1 % deutlich höher.

Der Erwartungswert der Asse je Blatt beträgt:

E[X] = \frac{n \cdot K}{N} = \frac{5 \times 4}{52} = \frac{5}{13} \approx 0{,}385

Im Durchschnitt erhält man also knapp ein halbes Ass pro Blatt — tatsächlich zieht man natürlich immer eine ganze Zahl. Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen Mittelwert über viele Deals.

Unterschied zwischen P(mindestens k) und P(genau k)

Das Ergebnis P(mindestens k) — $P(X \geq k)$ — summiert die PMF von $k$ bis $\min(n, K)$ :

P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{\min(n,K)} P(X = i)

Das ist die Frage, die Spieler in der Praxis häufiger stellen: „Wie hoch ist die Chance, mindestens zwei Herz-Karten zu ziehen?" — und nicht die engere Frage nach genau zwei. Das Verteilungsdiagramm zeigt, wie die Wahrscheinlichkeitsmasse auf alle möglichen Trefferzahlen verteilt ist.

Typische Szenarien beim Kartenziehen

Deck	Gesuchte Karten	Hand	Gewünscht	P(genau)	P(mindestens)
52	4 (Asse)	5	1	29,9 %	34,1 %
52	4 (Asse)	5	2	4,0 %	4,2 %
52	13 (Herz)	5	3	8,2 %	9,3 %
52	12 (Bildkarten)	5	2	25,1 %	32,5 %
52	4 (Asse)	2	1	14,5 %	14,9 %
312 (6-Deck)	24 (Asse)	2	1	14,2 %	14,8 %

Die letzte Zeile zeigt das Sechsdeck beim Blackjack: Bleibt das Verhältnis $K/N$ konstant (24/312 = 4/52), verändert sich die Wahrscheinlichkeit kaum — der große Nenner dominiert.

Hypergeometrische Verteilung versus Binomialverteilung

Die Binomialverteilung gilt, wenn jeder Versuch unabhängig mit einer festen Trefferwahrscheinlichkeit $p$ stattfindet. Beim Kartenziehen ist das nicht der Fall — jede gezogene Karte verändert $p$ für den nächsten Zug. Bei einem 52-Karten-Deck ist der Unterschied gering, aber vorhanden:

Binomialapproximation für 1 Ass in 5 Karten: $1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33{,}0\,\%$
Exakte hypergeometrische Berechnung: $\approx 34{,}1\,\%$

Die Abweichung wächst, wenn die Hand einen großen Anteil des Decks ausmacht. Bei einer 10-Karten-Hand aus einem 20-Karten-Deck liefert die Binomialapproximation spürbar ungenaue Ergebnisse; die hypergeometrische Formel bleibt dagegen exakt.

So verwenden Sie diesen Rechner

Deckgröße — Gesamtzahl der Karten vor dem Ziehen. Standarddeck: 52. Skatdeck: 32. Sechsdeck-Schuh: 312. Bereits gespielte Karten abziehen, um Spielsituationen mittendrin zu modellieren.
Gesuchte Karten im Deck — Anzahl der Karten, die als Treffer zählen. Asse: 4. Pik-Karten: 13. Rote Könige: 2.
Handgröße — Anzahl der Karten, die in einem Zug ausgeteilt werden.
Gewünschte Treffer — die genaue Trefferanzahl, die berechnet werden soll. Für Fragen nach einer Mindestanzahl ist P(mindestens k) das passende Ergebnis.

Das Verteilungsdiagramm zeigt die vollständige PMF — wie die Wahrscheinlichkeitsmasse von null Treffern bis zum möglichen Maximum verteilt ist. Der hervorgehobene Balken entspricht dem eingegebenen Wert für Gewünschte Treffer.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie wahrscheinlich sind zwei Asse in einem 5-Karten-Pokerblatt?

Bei einem Standarddeck mit 52 Karten, 4 Assen und einer 5-Karten-Hand gilt: P(X = 2) = C(4,2) × C(48,3) / C(52,5) = 6 × 17.296 / 2.598.960 ≈ 0,03993, also rund 4,0 %. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Ass liegt mit ca. 34,1 % deutlich höher. Zur Überprüfung: Deck = 52, Gesuchte Karten = 4, Hand = 5, Gewünschte Treffer = 2 eingeben.

Warum folgt das Kartenziehen der hypergeometrischen Verteilung?

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit, die in zwei Gruppen aufgeteilt ist. Genau das passiert beim Kartenziehen: Das Deck ist die Grundgesamtheit, die gesuchten Karten bilden eine Gruppe, der Rest die andere.

Jede gezogene Karte verändert die Zusammensetzung des Restdecks — das ist das entscheidende Merkmal des Ziehens ohne Zurücklegen. Würde jede Karte vor dem nächsten Zug zurückgelegt, käme stattdessen die einfachere Binomialverteilung zur Anwendung.

Berechnet der Rechner Ziehen mit oder ohne Zurücklegen?

Ohne Zurücklegen — das ist die Standardregel bei allen Kartenspielen. Sobald eine Karte gezogen ist, kommt sie nicht ins Deck zurück, wodurch sich die Wahrscheinlichkeiten mit jedem Zug verschieben. Die hypergeometrische Formel berücksichtigt dies exakt. Werden Karten nach jedem Zug zurückgelegt, gilt die Binomialformel — dafür steht der Binomialverteilung-Rechner zur Verfügung.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pokerblatts wie eines Flushes?

Bei Blättern mit mehreren Bedingungen müssen die günstigen 5-Karten-Kombinationen direkt gezählt werden, anstatt eine einzige hypergeometrische Berechnung zu verwenden.

Beispiel Flush (5 Karten derselben Farbe): C(13,5) = 1.287 Möglichkeiten je Farbe × 4 Farben = 5.148 Flush-Blätter von C(52,5) = 2.598.960 möglichen Blättern insgesamt — das entspricht etwa 0,197 %. Dieser Rechner eignet sich für einfache Ziehbedingungen (genau oder mindestens k Karten eines Typs); für vollständige Pokerblatthäufigkeiten empfiehlt sich eine Kombinatorik-Referenz oder eine Poker-Odds-Tabelle.

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