Zuletzt aktualisiert: 2026-05-13

Definition

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten ist:

$a^2 + b^2 = c^2$

Dabei bezeichnet $c$ die Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) und $a$, $b$ die beiden Katheten. Der Satz gehört zu den ältesten mathematischen Ergebnissen überhaupt. Babylonische Tontafeln aus dem Jahr um 1800 v. Chr. listen bereits pythagoreische Tripel auf — Mengen von ganzen Zahlen, die diese Gleichung erfüllen — Jahrhunderte bevor Pythagoras geboren wurde. Was Pythagoras und seine Schüler beisteuerten, war ein allgemeiner Beweis: Die Beziehung gilt für jedes rechtwinklige Dreieck, nicht nur für ausgewählte ganzzahlige Beispiele.

Geometrische Begründung

Der anschaulichste Beweis zeichnet drei Quadrate auf die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten — man kann die Teile so umordnen, dass sie das größere Quadrat lückenlos ausfüllen. Dieser Zerlegungsbeweis braucht keine Algebra, nur das Zählen von Flächen; er wurde deshalb in der Geschichte unabhängig in vielen Kulturen neu entdeckt.

Die algebraische Formulierung ergibt sich aus der Abstandsformel der analytischen Geometrie: Legt man den rechten Winkel in den Ursprung und die Katheten entlang der Koordinatenachsen, so hat die Hypotenuse — das Segment von $(a, 0)$ nach $(0, b)$ — nach der euklidischen Abstandsdefinition genau die Länge $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Rechenbeispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck habe die Katheten $a = 3\,\text{m}$ und $b = 4\,\text{m}$. Gesucht ist die Hypotenuse $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\text{m}$

Umgekehrt: Sind Hypotenuse $c = 13\,\text{cm}$ und Kathete $b = 5\,\text{cm}$ bekannt, ergibt sich die andere Kathete $a$ durch Umstellen der Gleichung:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}$

Der Rechner löst beide Richtungen automatisch: Zwei beliebige Seiten eingeben, die dritte wird berechnet.

Pythagoreische Tripel

Pythagoreische Tripel sind ganzzahlige Lösungen von $a^2 + b^2 = c^2$. Einige wichtige Beispiele:

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

Jedes positive ganzzahlige Vielfache eines Tripels ist wiederum ein Tripel. So sind (6, 8, 10), (9, 12, 15) und (15, 20, 25) alle Abkömmlinge der (3, 4, 5)-Familie.

Die allgemeine Formel zur Erzeugung aller primitiven Tripel (die keinen gemeinsamen Teiler haben) verwendet zwei ganze Zahlen $m > n > 0$:

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

Für $m = 2, n = 1$: $a = 3, b = 4, c = 5$ — das bekannteste Tripel.

Anwendungen in der Praxis

Bauwesen und Zimmerei. Die 3-4-5-Regel ist das verlässlichste Werkzeug der Zimmerleute, um rechte Winkel ohne Winkelmesser zu prüfen. Misst man 3 Einheiten entlang einer Wand, 4 Einheiten entlang der angrenzenden Wand und verbindet die Endpunkte, ist der Winkel genau 90°, wenn die Diagonale exakt 5 Einheiten misst.

Navigation. Die Luftlinienentfernung zwischen zwei Punkten auf einer flachen Karte ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Nord-Süd- und Ost-West-Abstände sind. GPS-Empfänger und Kartensoftware nutzen dies ununterbrochen.

Physik und Ingenieurwesen. Vektorbeträge in zwei Dimensionen werden mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Die Geschwindigkeit eines Objekts mit horizontaler Geschwindigkeit $v_x$ und vertikaler Geschwindigkeit $v_y$ beträgt $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Computergrafik. Pixelabstände, Kollisionsberechnungen und Rendering-Algorithmen basieren alle auf diesem Satz. Die dreidimensionale Erweiterung — $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ — ist eine direkte Verallgemeinerung.

Nur für rechtwinklige Dreiecke

Der Satz des Pythagoras gilt ausschließlich, wenn ein Winkel genau 90° beträgt. Für alle anderen Dreiecke ist der Kosinussatz das richtige Werkzeug:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

wobei $C$ der Winkel gegenüber der Seite $c$ ist. Bei $C = 90°$ gilt $\cos(90°) = 0$, und der Kosinussatz vereinfacht sich exakt zum Satz des Pythagoras — ein Beweis, dass dieser ein Sonderfall des allgemeineren Ergebnisses ist.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was sind pythagoreische Tripel?

Pythagoreische Tripel sind Mengen von drei positiven ganzen Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen. Das bekannteste Beispiel ist (3, 4, 5): 9 + 16 = 25. Weitere verbreitete Tripel sind (5, 12, 13), (8, 15, 17) und (7, 24, 25). Jedes ganzzahlige Vielfache eines Tripels ist ebenfalls ein Tripel – z. B. (6, 8, 10).

Wo wird der Satz des Pythagoras im Alltag angewendet?

Der Satz des Pythagoras findet Anwendung im Bauwesen (Prüfung rechter Winkel), in der Navigation (Berechnung von Luftlinienentfernungen), in der Physik (Vektorbeträge) sowie in der Computergrafik (2D- und 3D-Abstandsberechnungen). Zimmerleute nutzen die 3-4-5-Regel, um rechte Winkel abzustecken.

Gilt der Satz des Pythagoras für alle Dreiecke?

Nein – er gilt ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke (Dreiecke mit einem 90°-Winkel). Für andere Dreiecke verwendet man den Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab cos(C), wobei C der Winkel gegenüber der Seite c ist.