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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Kovarianz-Rechner

Eingaben

X-Werte1, 2, 3, 4, 5
Y-Werte2, 4, 5, 4, 5

Ergebnisse

Stichprobenkovarianz1,5
\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}
Populationskovarianz1,2
\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}
Mittelwert von X3
Mittelwert von Y4
Anzahl5

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/covariance

Mathematik

Kovarianz-Rechner

Berechnen Sie die Stichproben- und die Populationskovarianz zweier Datensätze aus gepaarten X- und Y-Werten. Geben Sie zwei kommagetrennte Listen gleicher Länge ein und sehen Sie beide Kovarianzen, die Mittelwerte und eine schrittweise Herleitung.

Eingaben

Daten

Ergebnisse

\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}

Details

\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}

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Was die Kovarianz misst

Die Kovarianz misst, wie sich zwei Variablen gemeinsam verändern. Wenn größere Werte der einen Variablen mit größeren Werten der anderen einhergehen, ist die Kovarianz positiv; gehen größere Werte der einen mit kleineren der anderen einher, ist sie negativ. Eine Kovarianz nahe null deutet auf einen geringen linearen Zusammenhang hin.

Für gepaarte Beobachtungen (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ) entsteht die Kovarianz aus den gepaarten Abweichungsprodukten – dem Abstand jedes x-Werts vom Mittelwert von X, multipliziert mit dem Abstand des zugehörigen y-Werts vom Mittelwert von Y:

Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)

Teilt man diese Summe durch n, erhält man die Populationskovarianz; teilt man durch n − 1, erhält man die Stichprobenkovarianz.

Populations- gegenüber Stichprobenkovarianz

Es gibt zwei Formeln, die sich nur im Nenner unterscheiden:

  • Populationskovarianz: σxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / n
  • Stichprobenkovarianz: sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / (n − 1)

Verwenden Sie die Populationsform, wenn Ihre Daten jedes Mitglied der interessierenden Gruppe abdecken. Verwenden Sie die Stichprobenform – die Voreinstellung der meisten Statistiksoftware –, wenn die Daten eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit sind. Der Divisor n − 1, die Bessel-Korrektur, gleicht die leichte Unterschätzung aus, die entsteht, weil die Mittelwerte x̄ und ȳ aus derselben Stichprobe geschätzt werden.

Rechenbeispiel

Angenommen, eine kleine Studie erfasst für fünf Studierende die Lernstunden (X) und die Testergebnisse (Y):

  • X = 1, 2, 3, 4, 5
  • Y = 2, 4, 5, 4, 5

Schritt 1 – Mittelwerte. x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 und ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4.

Schritt 2 – Abweichungsprodukte. Berechnen Sie jedes (xi − x̄)(yi − ȳ):

  • (1 − 3)(2 − 4) = (−2)(−2) = 4
  • (2 − 3)(4 − 4) = (−1)(0) = 0
  • (3 − 3)(5 − 4) = (0)(1) = 0
  • (4 − 3)(4 − 4) = (1)(0) = 0
  • (5 − 3)(5 − 4) = (2)(1) = 2

Schritt 3 – Summe. Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6.

Schritt 4 – Teilen. Populationskovarianz = 6 / 5 = 1,2. Stichprobenkovarianz = 6 / (5 − 1) = 6 / 4 = 1,5.

Das positive Ergebnis bestätigt, dass Lernstunden und Testergebnisse in diesen Daten tendenziell gemeinsam steigen.

Zusammenhang mit der Korrelation

Die Kovarianz gibt die Richtung eines linearen Zusammenhangs an, aber nicht dessen Stärke in vergleichbarer Weise, denn ihre Größe hängt von den Einheiten und der Skala der Daten ab. Der Korrelationskoeffizient behebt dies, indem er die Kovarianz durch das Produkt der beiden Standardabweichungen teilt und das Ergebnis stets auf den Bereich zwischen −1 und +1 skaliert.

Kurz gesagt: Die Kovarianz ist das nicht normierte Maß, die Korrelation ihre standardisierte, einheitenfreie Entsprechung. Wenn Sie beurteilen wollen, wie eng zwei Variablen zusammenhängen, berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten; wenn Sie das rohe Maß benötigen – etwa zum Aufbau einer Kovarianzmatrix –, verwenden Sie die Kovarianz direkt.

Vorzeichen und Betrag deuten

Das Vorzeichen der Kovarianz ist für sich aussagekräftig:

  • Positiv: Die Variablen bewegen sich tendenziell in dieselbe Richtung.
  • Negativ: Die Variablen bewegen sich tendenziell in entgegengesetzte Richtungen.
  • Nahe null: geringer linearer Zusammenhang.

Der Betrag hingegen ist nicht direkt interpretierbar, weil er das Produkt der Einheiten beider Variablen trägt. Eine in Kilogramm-Zentimetern gemessene Kovarianz lässt sich nicht mit einer in Euro-pro-Jahr vergleichen. Um Stärken über Datensätze hinweg zu vergleichen, rechnen Sie stets in den Korrelationskoeffizienten um.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Unterschied zwischen Stichproben- und Populationskovarianz?

Beide messen, wie sich zwei Variablen gemeinsam verändern, unterscheiden sich aber im Nenner. Die Populationskovarianz teilt die Summe der gepaarten Abweichungsprodukte durch n und behandelt die Daten als vollständige Grundgesamtheit. Die Stichprobenkovarianz teilt stattdessen durch n − 1 – die Bessel-Korrektur –, die ausgleicht, dass eine Stichprobe die wahre Streuung tendenziell unterschätzt, weil die Mittelwerte aus denselben Daten geschätzt werden.

Verwenden Sie die Populationsform nur, wenn die Daten jedes Mitglied der interessierenden Gruppe abdecken. In der Praxis sind die Daten meist eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit, weshalb die Stichprobenkovarianz (÷ n − 1) die richtige Wahl ist – und der Wert, den die meiste Statistiksoftware standardmäßig ausgibt.

Wie hängt die Kovarianz mit dem Korrelationskoeffizienten zusammen?

Der Korrelationskoeffizient ist eine standardisierte Kovarianz. Er teilt die Kovarianz durch das Produkt der beiden Standardabweichungen, wodurch das Ergebnis stets zwischen −1 und +1 liegt. Damit wird die Korrelation über Datensätze mit unterschiedlichen Einheiten und Streuungen hinweg vergleichbar, was für die Kovarianz nicht gilt.

Deshalb gibt die Kovarianz die Richtung des Zusammenhangs an (positiv, negativ oder keiner), aber nicht dessen absolute Stärke – eine große Kovarianz kann schlicht bedeuten, dass die Variablen große Einheiten haben. Wenn Sie ein einheitenfreies Maß für die Enge des Zusammenhangs möchten, berechnen Sie stattdessen den Korrelationskoeffizienten.

Was sagt das Vorzeichen der Kovarianz aus?

Eine positive Kovarianz bedeutet, dass sich die beiden Variablen in dieselbe Richtung bewegen: Liegt X über seinem Mittelwert, liegt tendenziell auch Y über seinem Mittelwert. Eine negative Kovarianz bedeutet, dass sie sich gegenläufig bewegen – X über dem Mittelwert geht mit Y unter dem Mittelwert einher. Eine Kovarianz nahe null deutet auf einen geringen linearen Zusammenhang hin.

Der Betrag hingegen ist für sich allein nicht interpretierbar, weil er von den Einheiten und der Skala der Daten abhängt. Um die Stärke des Zusammenhangs zu beurteilen, betrachten Sie den Korrelationskoeffizienten statt der rohen Kovarianz.

Welche Einheit hat die Kovarianz?

Die Kovarianz trägt das Produkt der Einheiten beider Variablen. Wird X in Kilogramm und Y in Zentimetern gemessen, so wird die Kovarianz in Kilogramm-Zentimetern ausgedrückt. Deshalb ist die rohe Zahl schwer zu interpretieren und lässt sich nicht direkt zwischen verschiedenen Variablenpaaren vergleichen.

Der Korrelationskoeffizient löst dies, indem er die Einheiten herauskürzt und eine dimensionslose Zahl zwischen −1 und +1 erzeugt. Wenn Sie einen vergleichbaren oder als Stärke interpretierbaren Wert benötigen, verwenden Sie die Korrelation; die Kovarianz verwenden Sie, wenn Sie speziell das nicht normierte Maß brauchen, etwa als Eintrag einer Kovarianzmatrix.

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