Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Ein Dreieck aus einer Seite und zwei Winkeln berechnen (WSW)

Der WSW-Fall (Winkel-Seite-Winkel) liegt vor, wenn eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt sind. Da die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks 180° beträgt, ergibt sich der dritte Winkel durch einfache Subtraktion. Anschließend liefert der Sinussatz alle übrigen Seiten, und der erweiterte Sinussatz gibt direkt den Umkreisradius.

Dritter Winkel

$C = 180° - A - B$

Diese Berechnung erfordert keine Trigonometrie. Sind zwei Winkel bekannt, ist die Form des Dreiecks vollständig bestimmt — die Seitenlänge legt nur den Maßstab fest.

Sinussatz: Unbekannte Seiten

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Mit der bekannten Seite $c$ und dem berechneten Winkel $C$:

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

Rechenbeispiel — $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$:

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}766}{0{,}940} \approx 6{,}527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}866}{0{,}940} \approx 7{,}378$

Flächenberechnung

Die Fläche lässt sich direkt aus den WSW-Eingaben berechnen, ohne die Seiten vorher zu bestimmen:

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

Diese Formel vermeidet Rundungsfehler aus der Zwischenrechnung.

Umkreisradius aus dem erweiterten Sinussatz

Das gemeinsame Verhältnis im Sinussatz entspricht dem Umkreisdurchmesser:

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

Für das obige Beispiel: $R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4{,}257$.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ($C = 90°$, $\sin 90° = 1$) vereinfacht sich die Formel zu $R = c/2$ — der Umkreisradius ist halb so groß wie die Hypotenuse.

Inkreisradius

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

WSW und WWS im Vergleich

Beide Konfigurationen bestimmen ein Dreieck eindeutig:

• WSW: Die bekannte Seite liegt zwischen den beiden Winkeln.
• WWS: Die bekannte Seite liegt nicht zwischen den beiden Winkeln.

Numerisch werden beide Fälle identisch gelöst: $C$ berechnen, dann Sinussatz anwenden. Die Unterscheidung spielt nur bei Kongruenzbeweisen in der Geometrie eine Rolle.

Grenzen des Sinussatzes

Beim SSW-Fall (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel) kann der Sinussatz zwei verschiedene Dreiecke liefern — das sogenannte mehrdeutige Dreieck. Dieser Rechner verwendet ausschließlich die WSW-Bedingung, bei der die bekannte Seite zwischen beiden Winkeln liegt, sodass diese Mehrdeutigkeit nicht auftreten kann.