Zuletzt aktualisiert: 2026-07-13

Konfidenzintervall für einen Anteil

Wenn eine Umfrage meldet, dass 64 % der Befragten eine Maßnahme befürworten, ist dieser eine Prozentwert nur ein Punktschätzer aus einer Stichprobe. Ein Konfidenzintervall macht daraus einen Bereich plausibler Werte für den wahren Anteil in der Grundgesamtheit, zusammen mit einem angegebenen Konfidenzniveau. Es kombiniert den Stichprobenanteil mit einer Fehlermarge, die widerspiegelt, wie stark die Schätzung von Stichprobe zu Stichprobe schwanken kann.

Formeln

Bei $x$ Treffern in einer Stichprobe vom Umfang $n$ ist der Stichprobenanteil:

Standardfehler:

Fehlermarge:

Wald-Konfidenzintervall:

Kritische z-Werte (Standardnormalverteilung):

Wald vs. Wilson

Das obige Wald-Intervall ist die Formel aus den meisten Einführungslehrbüchern: symmetrisch um $\hat{p}$ und leicht zu berechnen. Seine Schwäche ist die Abhängigkeit von der Normalapproximation der Binomialverteilung, die bei kleinen Stichproben oder Anteilen nahe 0 oder 1 zusammenbricht. Dann ist das Wald-Intervall zu schmal, seine Überdeckung liegt unter dem angegebenen Niveau, und es kann sogar Grenzen unter 0 % oder über 100 % erzeugen.

Das Wilson-Score-Intervall behebt dies, indem es den Score-Test invertiert, statt Symmetrie anzunehmen:

Wilson-Grenzen bleiben immer zwischen 0 und 100 %, das Intervall ist asymmetrisch, und seine Überdeckung bleibt auch bei kleinem $n$ nahe am Zielniveau. Viele Statistiker behandeln Wilson heute als Standard; dieser Rechner gibt beide aus, damit Sie sie nebeneinander vergleichen können.

Wann ist die Normalapproximation gültig?

Eine verbreitete Faustregel besagt, dass dem Wald-Intervall nur zu trauen ist, wenn sowohl

gilt (manche Texte fordern 10). Bei sehr wenigen Treffern, einem Anteil nahe 0 oder 1 oder einer kleinen Stichprobe wechseln Sie zum Wilson-Score-Intervall oder einem exakten Clopper-Pearson-Intervall.

Interpretation

Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet nicht, dass der wahre Anteil mit 95 % Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich liegt. Der wahre Anteil in der Grundgesamtheit ist eine feste, unbekannte Konstante – das Intervall ist das zufällige Objekt, weil es aus einer zufälligen Stichprobe gebildet wird.

Die genaue Bedeutung ist eine Aussage über das Verfahren: Würde man dieselbe Stichprobenziehung und Intervallbildung viele Male wiederholen, enthielten etwa 95 % der resultierenden Intervalle den wahren Anteil. Ein einzelnes Intervall enthält ihn entweder oder nicht.

Umfragen und die Fehlermarge

Die Berichterstattung über eine Umfrage nennt meist eine einzige „Fehlermarge, ±3 Prozentpunkte“. Diese Zahl ist genau $E = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ bei 95 % Konfidenz. Da $\hat{p}(1-\hat{p})$ bei $\hat{p} = 0{,}5$ am größten ist, geben Institute die Marge üblicherweise für $\hat{p} = 0{,}5$ an, damit eine Zahl konservativ jede Frage der Umfrage abdeckt.

Die Fehlermarge verringert sich mit $\sqrt{n}$: Sie zu halbieren erfordert den vierfachen Stichprobenumfang.

Rechenbeispiel: eine Zustimmungsumfrage

Eine Befragung von 500 Wählern ergibt 320 Befürworter eines Vorschlags.

Stichprobenanteil: $\hat{p} = 320 / 500 = 0{,}64$

Standardfehler: $SE = \sqrt{0{,}64 \times 0{,}36 / 500} \approx 0{,}0215$

95-%-Fehlermarge: $E = 1{,}96 \times 0{,}0215 \approx 0{,}0421$

Wald-Intervall:

Das Wilson-Score-Intervall für dieselben Daten ist $[59{,}70\,\%,\ 68{,}09\,\%]$ – hier fast identisch, weil $n = 500$ groß ist und $\hat{p} = 0{,}64$ weit von den Extremen liegt. Die beiden Intervalle weichen am stärksten voneinander ab, wenn die Stichprobe klein ist oder der Anteil nahe 0 oder 1 liegt.

Interpretation: „Auf Basis dieser Stichprobe von 500 schätzen wir, dass zwischen etwa 60 % und 68 % aller Wähler den Vorschlag befürworten, mit 95 % Konfidenz.“