Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Definition

Der binomische Lehrsatz entwickelt eine Potenz einer zweigliedrigen Summe in eine Summe von Gliedern:

Jedes Glied verbindet einen Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ mit $a$ hoch $(n-k)$ und $b$ hoch $k$. Läuft $k$ von $0$ bis $n$, so fällt die Potenz von $a$ von $n$ auf $0$, während die Potenz von $b$ von $0$ auf $n$ steigt; die beiden Exponenten ergeben also stets $n$.

Allgemeines Glied

Das einzelne Glied mit Index $k$ (ab $0$ gezählt) lautet:

Genau das berechnet das Feld für den Gliedindex. Für $k = 0$ ergibt sich das führende Glied $a^n$, für $k = n$ das letzte Glied $b^n$. Ein einzelnes Glied abzulesen ist praktisch, wenn nur ein bestimmter Koeffizient oder das Glied mit einer gegebenen Potenz gebraucht wird, ohne die ganze Entwicklung auszuschreiben.

Rechenbeispiel

Für $(2 + 3)^4$ soll das Glied bei $k = 2$ abgelesen werden. Zuerst der Koeffizient:

Dann das vollständige Glied $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$:

Die vollständige Entwicklung ist $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$, was als Kontrolle mit $5^4$ übereinstimmt.

Koeffizienten und das pascalsche Dreieck

Die Koeffizienten $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ bilden die Zeile $n$ des pascalschen Dreiecks, wobei die Spitze als Zeile $0$ zählt. Sie gehorchen der Rekursion:

Jeder Eintrag ist somit die Summe der beiden direkt darüber. Für $(a + b)^3$ ist die Zeile $1, 3, 3, 1$; für $(a + b)^4$ ist sie $1, 4, 6, 4, 1$. Das Koeffizientendiagramm oben zeichnet diese Zeile direkt.

Symmetrie

Binomialkoeffizienten sind symmetrisch:

Eine Zeile liest sich also vorwärts wie rückwärts gleich. Das entspricht der Tatsache, dass die Wahl, welche $k$ Faktoren ein $b$ beitragen, dasselbe ist wie die Wahl, welche $n-k$ Faktoren ein $a$ beitragen.

Summe der Koeffizienten

Setzt man $a = b = 1$, wird der Lehrsatz zu einer kompakten Identität:

Die Koeffizienten einer Zeile summieren sich daher zu einer Zweierpotenz — die Zeile für $n = 3$ ergibt $8$, die Zeile für $n = 6$ ergibt $64$. Mit $a = 1, b = -1$ erhält man die alternierende Summe, die für jedes $n \geq 1$ gleich $0$ ist.

Häufige Anwendungen

• Algebra: Ausmultiplizieren von Polynomen und Vereinfachen potenzierter Ausdrücke.
• Wahrscheinlichkeit: Die Koeffizienten tragen die Binomialverteilung, in der $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge in $n$ Versuchen ist.
• Näherung: Für kleine $x$ liefern die ersten beiden Glieder von $(1 + x)^n$ die Schätzung $1 + nx$.
• Kombinatorik: Identitäten wie die Zeilensumme $2^n$ und die alternierende Summe $0$ folgen unmittelbar aus dem Lehrsatz.

Praktische Hinweise

Ganzzahliger Exponent erforderlich. Die obige Form setzt voraus, dass $n$ eine ganze Zahl ist. Gebrochene oder negative Exponenten führen auf die verallgemeinerte binomische Reihe, eine unendliche Summe und ein eigenes Thema.

Erstes und letztes Glied. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, daher ist der erste und der letzte Koeffizient jeder Entwicklung gleich $1$.

Für die Koeffizienten allein — die Werte „$n$ über $k$“ ohne die Potenzen von $a$ und $b$ — dient der Kombinationsrechner — C(n, r).