Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Die Pyramide

Eine Pyramide ist ein Körper mit einer vieleckigen Grundfläche und dreieckigen Seitenflächen, die in einem gemeinsamen Punkt, der Spitze, zusammentreffen. Dieser Rechner behandelt gerade Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche — die quadratische Pyramide ist ein Sonderfall davon. Geben Sie Grundmaße und Höhe ein, um alle relevanten Maße auf einmal zu ermitteln.

Formeln

Mit Grundlänge $l$, Grundbreite $w$ und senkrechter Höhe $h$:

Grundfläche:

Volumen — stets ein Drittel des entsprechenden Prismas:

Schräghöhe — Abstand von der Spitze zum Mittelpunkt einer Grundkante. Bei einer rechteckigen Pyramide gibt es je nach Kantenpaar zwei verschiedene Schräghöhen:

Bei einer quadratischen Pyramide ($l = w = a$) sind beide gleich: $l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}$

Mantelfläche — Summe aller vier Dreiecksflächen:

Gesamtoberfläche:

Herleitung des Faktors $\frac{1}{3}$

Das Volumen einer Pyramide beträgt stets ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Der klassische Beweis zeigt, dass sich drei kongruente quadratische Pyramiden zu einem Würfel zusammensetzen lassen — jede nimmt genau $\frac{1}{3}$ des Würfelvolumens ein. Der allgemeine Beweis nutzt das Prinzip von Cavalieri: Der Querschnitt in Höhe $z$ hat die Fläche $A_b \times (1 - z/h)^2$, was von $z = 0$ bis $z = h$ zu $\frac{1}{3} A_b h$ integriert.

Schräghöhe und senkrechte Höhe im Vergleich

Die senkrechte Höhe $h$ ist der Abstand von der Spitze senkrecht zur Grundebene. Die Schräghöhe $l_s$ ist der Abstand von der Spitze zum Mittelpunkt einer Grundkante, gemessen entlang der Seitenfläche. Sie sind durch ein rechtwinkliges Dreieck verknüpft: $l_s = \sqrt{h^2 + r^2}$, wobei $r$ der Abstand vom Grundflächenmittelpunkt zum Kantenmittelpunkt ist.

Die Schräghöhe entspricht der Länge, die man beim Anlegen eines Lineals von der Spitze bis zur Kantenmitte auf der Seitenfläche messen würde.

Rechenbeispiel: Cheopspyramide und Louvre-Pyramide

Die Cheopspyramide in Gizeh hat eine quadratische Grundfläche von etwa 230,4 m Seitenlänge und eine ursprüngliche Höhe von 146,5 m.

Grundfläche: $A_b = 230{,}4^2 = 53{.}084 \text{ m}^2 \approx 5{,}3 \text{ ha}$

Volumen: $V = \frac{1}{3} \times 53{.}084 \times 146{,}5 \approx 2{.}592{.}000 \text{ m}^3$

Das entspricht rund 2,6 Millionen Kubikmetern — etwa 1.000 olympische Schwimmbecken.

Schräghöhe: $l_s = \sqrt{146{,}5^2 + 115{,}2^2} \approx 186{,}4 \text{ m}$

Mantelfläche: $A_{lat} \approx 85{.}944 \text{ m}^2 \approx 8{,}6 \text{ ha}$

Ein modernes Pendant steht vor dem Louvre in Paris: Die Glaspyramide (I. M. Pei, 1989) hat eine quadratische Grundfläche von 35 m Seitenlänge und eine Höhe von 21,6 m — nach denselben Formeln berechnet sich ihr Volumen auf etwa $\frac{35^2 \times 21{,}6}{3} \approx 8.820 \text{ m}^3$.