Zuletzt aktualisiert: 2026-06-04

Definition

Das geometrische Mittel von n positiven Zahlen x₁, x₂, …, xₙ ist die n-te Wurzel ihres Produkts:

$G = \bigl(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n\bigr)^{1/n}$

Eine numerisch stabile äquivalente Darstellung verwendet den Logarithmus:

$G = \exp\!\left(\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n}\right)$

Beide Ausdrücke liefern dasselbe Ergebnis. Die logarithmische Form vermeidet jedoch Überläufe bei der Multiplikation vieler großer Zahlen, da alle Zwischenwerte in einem rechentechnisch sicheren Bereich bleiben. Dieser Rechner verwendet intern die logarithmische Form.

Anwendungsgebiete

Das geometrische Mittel ist der sachgemäße Durchschnitt, wenn Größen multipliziert statt addiert werden. Typische Anwendungsfälle:

Renditen und Wachstumsfaktoren. Wächst eine Anlage im ersten Jahr um 20 % und fällt im zweiten Jahr um 10 %, betragen die Wachstumsfaktoren 1,20 und 0,90. Das arithmetische Mittel dieser Faktoren (1,05) legt eine jährliche Rendite von 5 % nahe – das tatsächliche Zweijahresergebnis ist jedoch 1,20 × 0,90 = 1,08, entsprechend einer konstanten jährlichen Rate von √1,08 ≈ 1,039 oder rund 3,9 %. Das geometrische Mittel liefert genau diesen Wert; das arithmetische Mittel überschätzt die Rendite.

Preisindizes und Verhältniszahlen. Beim Zusammenfassen von Quotienten oder Indexwerten über Kategorien mit unterschiedlichen Basiseinheiten gewichtet das geometrische Mittel jede Kategorie nach ihrer multiplikativen Struktur, ohne dass große Absolutwerte dominieren.

Logarithmisch-normalverteilte Daten. Größen, die mehrere Zehnerpotenzen umspannen – Bakterienzahlen, Erdbebenstärken, Einkommensverteilungen – werden mit dem geometrischen Mittel sachgemäß zusammengefasst, weil es dem Median der zugrundeliegenden Lognormalverteilung entspricht.

Als Faustregel gilt: arithmetisches Mittel für additive Daten (Temperaturen, Längen, Testergebnisse), geometrisches Mittel für multiplikative Daten (Wachstumsfaktoren, Preisrelationen, Seitenverhältnisse).

Rechenbeispiel

Drei aufeinanderfolgende Jahresrenditen einer Geldanlage betragen +12 %, −8 % und +24 %. Umgerechnet in Wachstumsfaktoren: 1,12, 0,92, 1,24.

• Produkt: 1,12 × 0,92 × 1,24 ≈ 1,2782
• Geometrisches Mittel: 1,2782^(1/3) ≈ 1,0854
• Äquivalente konstante Jahresrendite: 8,54 %
• Arithmetisches Mittel der Wachstumsfaktoren: (1,12 + 0,92 + 1,24) / 3 ≈ 1,0933, entspricht 9,33 %

Das arithmetische Mittel überschätzt die dauerhaft erzielbare Rate, weil es die Wechselwirkung von Gewinnen und Verlusten beim Zinseszins nicht berücksichtigt. Eine Anfangsanlage von 1.000 € wächst bei der geometrischen Mittelsrate von 8,54 % über drei Jahre auf 1.000 × 1,2782 ≈ 1.278 € – genau dem tatsächlichen Endwert.

AM-GM-Ungleichung

Für beliebige positive Zahlen gilt, dass das arithmetische Mittel stets größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist:

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \;\geq\; \bigl(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n\bigr)^{1/n}$

Gleichheit tritt genau dann ein, wenn alle Werte gleich sind. Die Differenz zwischen beiden Mitteln wächst mit der Streuung der Daten und ist daher ein nützlicher Indikator für die multiplikative Variabilität eines Datensatzes.

Ein geometrisches Anschauungsbeispiel: Unter allen Rechtecken mit festem Umfang hat das Quadrat (gleiche Seitenlängen) die größte Fläche. Die Fläche entspricht dem Produkt beider Seiten; das geometrische Mittel der Seitenlängen ist maximal, wenn beide Seiten gleich sind und damit dem arithmetischen Mittel entsprechen.

Die AM-GM-Ungleichung findet Anwendung in der Analysis, der Optimierung und der Finanzmathematik.

Logarithmische Berechnung und numerische Stabilität

Bei vielen Werten oder sehr großen Zahlen kann die direkte Multiplikation zu einem Gleitkommaüberlauf führen. Die logarithmische Umformung vermeidet dieses Problem:

$G = \exp\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i\right)$

Durch den Logarithmus werden Multiplikationen in Additionen umgewandelt; alle Zwischenwerte bleiben in einem rechentechnisch sicheren Bereich. Die Exponentiation am Ende gibt das Ergebnis in der ursprünglichen Skala zurück.

Einordnung unter den pythagoreischen Mittelwerten

Das geometrische Mittel ist eines von drei klassischen Mittelwerten (pythagoreische Mittel):

• Arithmetisches Mittel (AM): minimiert die Summe der quadratischen Abweichungen – reagiert empfindlich auf Ausreißer.
• Geometrisches Mittel (GM): minimiert die Summe der quadratischen Abweichungen im Logarithmusraum – sachgemäß für multiplikative Daten.
• Harmonisches Mittel (HM): Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte – geeignet für Raten und Geschwindigkeiten.

Für positive Daten gilt stets HM ≤ GM ≤ AM. Dieser Rechner gibt GM und AM aus, sodass beide Werte direkt verglichen werden können.

Verwandte Rechner

• Mittelwert, Median und Modus Rechner — arithmetisches Mittel, Median, Modus und Spannweite
• Gewichteter Mittelwert Rechner — gewichtetes Mittel mit individuellen Gewichtungsfaktoren
• Varianz und Standardabweichung berechnen — Varianz und Standardabweichung eines Datensatzes
• Deskriptive Statistik Rechner — vollständige beschreibende Statistik einschließlich Schiefe und Kurtosis