Mittelwert, Median und Modus Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Die vier Lagemaße der deskriptiven Statistik

Mittelwert, Median, Modus und Spannweite sind die grundlegenden Lagemaße der deskriptiven Statistik. Sie beschreiben, wo sich die Mitte einer Wertemenge befindet und wie weit die Werte streuen – ohne die gesamte Rohdatenliste auflisten zu müssen.

Mittelwert (arithmetisches Mittel)

Der Mittelwert ist die Summe aller Werte dividiert durch deren Anzahl:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Beispiel: 4, 8, 15, 16, 23, 42

$\bar{x} = \frac{4 + 8 + 15 + 16 + 23 + 42}{6} = \frac{108}{6} = 18$

Der Mittelwert berücksichtigt jeden Wert – ein einzelner Ausreißer kann ihn stark verschieben. Bei symmetrisch verteilten Daten ohne Extremwerte ist er die übliche Wahl.

Median

Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Reihe. Bei gerader Anzahl gilt:

• Ungerade n: der Wert an Position ⌊n/2⌋ + 1 nach dem Sortieren.
• Gerade n: Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Für 4, 8, 15, 16, 23, 42 (n = 6, gerade):

$M_d = \frac{15 + 16}{2} = 15{,}5$

Der Median ist robust gegenüber Ausreißern. Bei Einkommensverteilungen liegt das Medianeinkommen typischerweise deutlich unter dem Durchschnittseinkommen – ein klassisches Beispiel dafür, dass rechtsschiefe Verteilungen mit dem Median besser beschrieben werden.

Modus

Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert. Mögliche Fälle:

• Kein Modus: alle Werte erscheinen gleich oft (Anzeige: „no mode").
• Unimodal: genau ein Wert ist am häufigsten.
• Bimodal / Multimodal: zwei oder mehr Werte teilen sich den ersten Rang.

Beispiel 2, 3, 3, 5, 7, 7: 3 und 7 erscheinen je zweimal → Modus: 3, 7.

Spannweite

Die Spannweite ist das einfachste Streuungsmaß:

$R = x_{\max} - x_{\min}$

Für 4, 8, 15, 16, 23, 42: Spannweite = 42 − 4 = 38.

Die Spannweite reagiert stark auf Ausreißer. Für eine robustere Aussage über die Streuung eignet sich die Standardabweichung (berechnet im Deskriptive Statistik Rechner).

Rechenbeispiel: Klassenarbeit

Ergebnisse von sieben Schülerinnen und Schülern: 55, 62, 70, 70, 78, 84, 95 Punkte.

Interpretation: Mittelwert (73,43) und Median (70) liegen nah beieinander – die Verteilung ist annähernd symmetrisch. Der Modus bei 70 Punkten zeigt den häufigsten Wert. Eine Spannweite von 40 Punkten deutet auf moderate Streuung hin.

Mathematische Grundlage

Der Mittelwert minimiert die Summe der quadratischen Abweichungen (Σ(xᵢ − c)²) – diese Eigenschaft liegt der Methode der kleinsten Quadrate und der linearen Regression zugrunde.

Der Median minimiert die Summe der absoluten Abweichungen (Σ|xᵢ − c|) – daher reagiert er kaum auf Extremwerte.

Auswahl des geeigneten Lagemaßes