Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel. Sind zwei beliebige Maße bekannt – zwei Seiten, eine Seite und ein Winkel oder die Hypotenuse mit einem Winkel – lassen sich alle übrigen Größen mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Trigonometrie bestimmen. Dieser Rechner bietet vier Lösungsmodi und gibt Flächeninhalt und Umfang direkt mit aus.

Die vier Lösungsmodi

Satz des Pythagoras

Die Grundlage für rechtwinklige Dreiecke lautet:

a² + b² = c²

Dabei sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel). Bei bekannten Katheten ergibt sich: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Ist die Hypotenuse bekannt, gilt: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Rechenbeispiel: Eine Rampe steigt auf einer horizontalen Strecke von 3,5 m um 1,2 m an. Die Länge der Rampe beträgt $\sqrt{1{,}2^2 + 3{,}5^2} = \sqrt{13{,}69} \approx 3{,}70$ m.

Sinus, Kosinus, Tangens

Die drei trigonometrischen Grundverhältnisse verknüpfen Winkel und Seitenverhältnisse:

• sin A = Gegenkathete / Hypotenuse = a / c
• cos A = Ankathete / Hypotenuse = b / c
• tan A = Gegenkathete / Ankathete = a / b

Daraus folgt:

• Winkel aus Seiten: A = arctan(a / b), oder bei bekannter Hypotenuse: A = arcsin(a / c)
• Seite aus Hypotenuse und Winkel: a = c · sin A, b = c · cos A
• Seite aus Kathete und Winkel: b = a / tan A

Der geometrische Hintergrund: Auf dem Einheitskreis entsprechen die Koordinaten eines Punkts auf dem Kreisbogen dem Winkel A genau (cos A, sin A) – das sind die Verhältnisse von Ankathete zu Hypotenuse und Gegenkathete zu Hypotenuse.

Flächeninhalt und Umfang

Sind alle drei Seiten bekannt:

• Flächeninhalt = a × b / 2
• Umfang = a + b + c

Rechenbeispiel: Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 7 cm und 24 cm hat Flächeninhalt = ½ × 7 × 24 = 84 cm², Hypotenuse = $\sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ cm und Umfang = 56 cm. (7-24-25 ist ein pythagoreisches Zahlentripel.)

Wann welchen Modus verwenden

Beide Katheten – der häufigste Fall: Leiter an der Wand, Diagonale einer rechteckigen Fläche, Höhenunterschied über bekannter Horizontaldistanz.

Kathete + Hypotenuse – wenn die Schräglänge (Hypotenuse) und eine Seite bekannt sind, z. B. die Sparrenlänge und der Dachüberstand.

Kathete + Winkel – typisch für Vermessung und Bauwesen. Beispiel: Förderband mit 30° Neigungswinkel und 5 m Horizontaldistanz → Länge = 5 / cos 30° ≈ 5,77 m, Höhe = 5 × tan 30° ≈ 2,89 m.

Hypotenuse + Winkel – Vektorzerlegung in der Physik: Kraft oder Geschwindigkeit c unter Winkel A ergibt Horizontalkomponente b = c · cos A und Vertikalkomponente a = c · sin A.