Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Rechnen mit komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl fasst einen Realteil und einen Imaginärteil zu einer einzigen Größe zusammen, geschrieben als a + bi, wobei i die imaginäre Einheit mit i² = −1 ist. Die Zahl a ist der Realteil, b der Koeffizient des Imaginärteils. Dieser Rechner nimmt zwei komplexe Zahlen z₁ = a + bi und z₂ = c + di, wendet die gewählte Operation an — Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division — und gibt das Ergebnis zusammen mit Betrag und Argument aus.

Komplexe Zahlen erweitern die reelle Zahlengerade zu einer zweidimensionalen Ebene und sind daher in der Elektrotechnik, Signalverarbeitung, Regelungstechnik und Quantenmechanik unverzichtbar.

Die vier Operationen

Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise, genau wie bei Vektoren:

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

Die Multiplikation wird wie zwei Binome ausmultipliziert; mit i² = −1 wandert der i²-Term in den Realteil:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

Bei der Division werden Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Nenners c − di multipliziert. Das beseitigt den Imaginärteil aus dem Nenner und lässt den reellen Wert c² + d² übrig:

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

Die Division ist für jedes z₂ außer 0 + 0i definiert, wo c² + d² = 0 gilt.

Rechenbeispiel

Aufgabe: Multipliziere z₁ = 3 + 4i mit z₂ = 1 + 2i.

Mit der Multiplikationsregel und a = 3, b = 4, c = 1, d = 2:

• Realteil: ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• Imaginärteil: ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

Also gilt z₁ z₂ = −5 + 10i.

Der Betrag des Ergebnisses ist √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11,18, und sein Argument ist atan2(10, −5) ≈ 116,57°, was im zweiten Quadranten liegt, da der Realteil negativ und der Imaginärteil positiv ist.

Betrag und Argument

Jede komplexe Zahl entspricht einem Punkt in der Ebene, mit dem Realteil auf der waagerechten und dem Imaginärteil auf der senkrechten Achse. Zwei Polargrößen beschreiben diesen Punkt:

• Der Betrag r = √(x² + y²) ist der Abstand vom Ursprung. Er misst die Größe der Zahl.
• Das Argument φ ist der von der positiven reellen Achse gemessene Winkel. Der Arkustangens mit zwei Argumenten, φ = atan2(y, x), legt den Winkel in den richtigen Quadranten und liefert einen Wert zwischen −180° und 180° (bzw. −π und π im Bogenmaß).

Kartesische Form versus Polarform

Die kartesische Form x + yi gibt die waagerechte und senkrechte Koordinate direkt an. Die Polarform r(cos φ + i sin φ) verwendet stattdessen Abstand und Winkel. Beide Formen beschreiben dieselbe Zahl; die Wahl ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.

Addition und Subtraktion sind in kartesischer Form am einfachsten, da die Teile unabhängig kombinieren. Multiplikation, Division und Potenzen sind in Polarform am einfachsten: Die Beträge werden multipliziert oder dividiert, während die Argumente addiert oder subtrahiert werden. Der Satz von de Moivre baut direkt darauf auf und verwandelt das mühsame Potenzieren einer komplexen Zahl in eine einzige Multiplikation des Arguments.