Zuletzt aktualisiert: 2026-06-06

Definition

Ein Pyramidenstumpf — auch gestutzte Pyramide — ist der Körper, der entsteht, wenn man von einer Pyramide durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt die Spitze abtrennt. Er besitzt zwei parallele polygonale Flächen: eine größere Grundfläche mit dem Flächeninhalt A₁ und eine kleinere Deckfläche mit dem Flächeninhalt A₂, verbunden durch trapezförmige Seitenflächen. Die senkrechte Höhe h wird lotrecht zwischen den beiden Parallelebenen gemessen.

Im Unterschied zum Kegelstumpf, dessen Basen stets Kreise sind, kann ein Pyramidenstumpf jede Polygonbasis haben — quadratisch, rechteckig, dreieckig, sechseckig oder eine beliebige andere Form, sofern beide Basen geometrisch ähnlich sind (gleiche Form, unterschiedliche Größe).

Volumenformel

Das Volumen eines Pyramidenstumpfs berechnet sich nach der prismatoidalen Formel:

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

Dabei ist A₁ der Flächeninhalt der Grundfläche, A₂ der Flächeninhalt der Deckfläche und h die senkrechte Höhe.

Die drei Summanden — A₁, A₂ und √(A₁A₂) — stehen für die Grundfläche, die Deckfläche und ihr geometrisches Mittel. Jeder der drei Terme ist gleichermaßen mit dem Faktor h/3 gewichtet.

Herleitung der Dreiterm-Formel

Die Herleitung beruht auf der Subtraktion zweier Pyramidenvolumina. Sei H die Gesamthöhe der ungestutzten Pyramide über der Grundfläche A₁, und sei die obere Pyramide mit der Höhe (H − h) und der Deckfläche A₂ der abgetrennte Teil. Nach dem Ähnlichkeitsgesetz skalieren Flächen mit dem Quadrat des linearen Maßstabsfaktors:

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

Auflösen nach H und Einsetzen in die Volumendifferenz

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

ergibt nach algebraischer Umformung genau den Dreitermsausdruck. Das geometrische Mittel √(A₁A₂) erscheint, weil es dem Querschnittsflächeninhalt auf halber Höhe des verlängerten Pyramidenkörpers entspricht.

Grenzfälle

Zwei Sonderfälle dienen als Plausibilitätsprüfung:

Vollständige Pyramide (A₂ = 0): Die Formel vereinfacht sich zu V = A₁·h/3 — der Standardformel für das Pyramidenvolumen. Der Geometrisches-Mittel-Term verschwindet.

Prisma (A₁ = A₂ = A): Die Formel wird zu V = (h/3)(A + A + A) = A·h — dem Volumen eines Prismas. Ein Pyramidenstumpf mit gleich großen Ober- und Unterflächen ist geometrisch ein Prisma.

Rechenbeispiel

Ein Blumenkübel aus Beton hat eine quadratische Grundfläche von 30 cm × 30 cm und eine quadratische Öffnung von 20 cm × 20 cm bei einer Höhe von 25 cm.

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360.000 = 600 cm²
• V = (25/3) × (900 + 400 + 600) = (25/3) × 1.900 ≈ 15.833 cm³ ≈ 15,8 Liter

Der Kübel fasst rund 15,8 Liter Erde.

Flächeneingabe statt Kantenlängen

Dieser Rechner nimmt die Grundflächen direkt entgegen, nicht einzelne Kantenlängen. Dadurch gilt die Formel für alle Grundflächenformen: Sechseck, Dreieck, beliebiges Polygon — ohne separate Formel je Form. Für einen quadratischen Pyramidenstumpf mit der Seitenlänge s gilt A = s². Für ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge a gilt A = (3√3/2)a².

Verwandte Rechner

• Pyramiden-Rechner — Volumen, Oberflächen und Schräghöhe einer vollständigen Pyramide
• Kegelstumpf-Rechner: Volumen und Oberfläche — Volumen und Oberflächen eines Kegelstumpfs
• Quader-Rechner — Volumen und Oberfläche eines Quaders (Sonderfall A₁ = A₂)