Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Eine Größe wächst oder zerfällt exponentiell, wenn ihre Änderungsrate proportional zu ihrer aktuellen Größe ist. Je größer sie ist, desto schneller ändert sie sich. Dieses Muster beschreibt Populationen, Zinseszinsguthaben, radioaktives Material, Wirkstoffkonzentrationen und die frühe Ausbreitung einer Epidemie. Das gemeinsame Modell dahinter lautet:

N = N₀ (1 ± r)^t

Dabei ist N₀ der Anfangswert, r die Rate pro Periode, t die verstrichene Zeit und N die Menge danach. Ein Pluszeichen ergibt Wachstum, ein Minuszeichen Zerfall.

Wachstum gegenüber Zerfall

Der einzige Unterschied zwischen Wachstum und Zerfall ist das Vorzeichen der Rate. Beim Wachstum ist der Faktor (1 + r) größer als 1, sodass die Größe jede Periode hochskaliert wird und die Kurve immer steiler ansteigt. Beim Zerfall liegt der Faktor (1 − r) zwischen 0 und 1, sodass die Größe jede Periode verkleinert wird und die Kurve gegen null fällt – ohne sie ganz zu erreichen.

Diskret gegenüber kontinuierlich

Es gibt zwei gängige Wege, die Rate anzuwenden.

Das diskrete Modell N₀ (1 ± r)^t wendet die Rate einmal pro ganze Periode an. Es passt zu Situationen, die sich in Schritten ändern: einmal jährlich gutgeschriebene Zinsen, eine pro Generation gezählte Population, ein monatlich aktualisiertes Guthaben.

Das kontinuierliche Modell N₀ · e^(kt) wendet die Rate in jedem Augenblick an, wobei k die kontinuierliche Rate und e ≈ 2,71828 ist. Es passt zu Prozessen, die sich ständig gleichmäßig ändern: radioaktiver Zerfall, stetige Verzinsung, chemische Reaktionen erster Ordnung. Bei gleicher Nominalrate wächst das kontinuierliche Modell etwas schneller, weil jeder kleine Zuwachs sofort weiter verzinst wird.

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Da die Rate ein fester Prozentsatz ist, braucht eine wachsende Größe stets gleich lange zur Verdopplung – egal wie groß sie schon ist – und eine zerfallende Größe gleich lange zur Halbierung. Diese Konstanten sind die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit.

Für das diskrete Modell:

• Verdopplungszeit = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• Halbwertszeit = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

Für das kontinuierliche Modell reduzieren sich beide auf ln 2 ÷ k, da der Betrag der Rate in beiden Richtungen gleich ist.

Ein praktischer Trick ist die Regel von 70: Teilen Sie 70 durch den prozentualen Satz, um die Verdopplungszeit abzuschätzen. Bei 5 % pro Jahr dauert die Verdopplung etwa 70 ÷ 5 = 14 Jahre – nahe an den exakten 14,21 Jahren.

Rechenbeispiel

Aufgabe: Eine Stadt mit 1.000 Einwohnern wächst um 5 % pro Jahr. Wie viele Menschen gibt es nach 10 Jahren, und wie lange dauert es, bis sich die Stadt verdoppelt?

Mit dem diskreten Wachstumsmodell:

N = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,62889 ≈ 1.629 Menschen

Verdopplungszeit = ln 2 ÷ ln(1,05) ≈ 0,6931 ÷ 0,04879 ≈ 14,21 Jahre

Nach einem Jahrzehnt liegt die Bevölkerung also bei etwa 1.629, und bei dieser Rate erreicht sie in gut vierzehn Jahren 2.000.

Ein Zerfallsbeispiel

Aufgabe: Eine Dosis von 200 mg eines Medikaments zerfällt kontinuierlich mit einer Rate von 0,231 pro Stunde. Wie viel bleibt nach 6 Stunden übrig, und wie groß ist die Halbwertszeit?

N = 200 × e^(−0,231 × 6) = 200 × e^(−1,386) ≈ 50 mg

Halbwertszeit = ln 2 ÷ 0,231 ≈ 3 Stunden

Das Ergebnis nach 6 Stunden von 50 mg ist genau ein Viertel der Dosis, was Sinn ergibt: 6 Stunden sind zwei Halbwertszeiten, die Menge hat sich also zweimal halbiert.

Bezug zum Zinseszins

Exponentielles Wachstum ist der mathematische Motor hinter dem Zinseszins. Das diskrete Modell mit r als periodischem Zinssatz ist identisch mit der Zinseszinsformel, und das kontinuierliche Modell entspricht der stetigen Verzinsung. Dieser Rechner hält die Darstellung allgemein, damit er gleichermaßen für Biologie, Physik und Finanzen gilt.