Erstellt am: 13. Juni 2026 um 18:01

Skalarprodukt Rechner

Eingaben

Vektor a (kommagetrennt)	1, 2, 3
Vektor b (kommagetrennt)	4, 5, 6

Skalarprodukt Rechner

Skalarprodukt zweier n-dimensionaler Vektoren, den Winkel zwischen ihnen und cos θ berechnen. Komponenten als kommagetrennte Werte eingeben.

Vektor a

Vektor a (kommagetrennt)

Vektor b

Vektor b (kommagetrennt)

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Skalarprodukt a · b

Winkel θ (Grad)

Details

|a| (Betrag von a)

|b| (Betrag von b)

cos θ

Dimension

orthogonal_yes

Schrittweise Herleitung

Skalarprodukt a · b

\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\ &= ? \end{aligned}

Kosinus des Winkels (cos θ)

\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{? \times ?} \\ &= ? \end{aligned}

Winkel zwischen den Vektoren (θ)

\begin{aligned} \theta &= \arccos(\cos\theta) \\ &= \arccos(?) \\ &= ?° \end{aligned}

Zuletzt aktualisiert: 2026-06-04

Definition

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine binäre Operation auf zwei Vektoren gleicher Dimension, die einen skalaren Wert liefert. Für Vektoren a = (a₁, a₂, …, aₙ) und b = (b₁, b₂, …, bₙ) ist es definiert als:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n

Diese komponentenweise Definition lässt sich unmittelbar aus den Vektorkoordinaten berechnen und bildet die Grundlage für die geometrische Interpretation.

Geometrische Bedeutung

Das Skalarprodukt verknüpft die algebraische Darstellung mit dem eingeschlossenen Winkel θ zwischen den beiden Vektoren:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta

Hierbei bezeichnen |a| und |b| die euklidischen Beträge (Längen) der Vektoren. Umgestellt ergibt sich die Winkelformel:

\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right)

Das Vorzeichen des Skalarprodukts liefert unmittelbar eine qualitative Aussage über die relative Lage der Vektoren:

Skalarprodukt	Winkel θ	Interpretation
positiv	0° ≤ θ < 90°	Vektoren zeigen in ähnliche Richtungen
null	θ = 90°	Vektoren stehen senkrecht aufeinander (orthogonal)
negativ	90° < θ ≤ 180°	Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen

Berechnung

Schritt 1 — Skalarprodukt bestimmen:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i

Schritt 2 — Beträge berechnen:

|\mathbf{a}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}, \qquad |\mathbf{b}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}

Schritt 3 — Winkel ermitteln:

\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}, \qquad \theta = \arccos(\cos\theta)

Das Ergebnis liegt stets im Bereich [0°, 180°].

Rechenbeispiel

Gegeben: a = (2, 3, −1) und b = (4, −1, 2).

Skalarprodukt:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(4) + (3)(-1) + (-1)(2) = 8 - 3 - 2 = 3

Beträge:

|\mathbf{a}| = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417

|\mathbf{b}| = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \approx 4{,}5826

Winkel:

\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{294}} \approx 0{,}1750

\theta = \arccos(0{,}1750) \approx 79{,}92°

Die beiden Vektoren sind nahezu senkrecht, aber nicht exakt orthogonal — sie teilen noch eine kleine gleichgerichtete Komponente.

Orthogonalität

Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist; sie stehen dann senkrecht aufeinander, unabhängig von der Dimension des Raumes. Die Standardbasisvektoren e₁ = (1, 0, 0) und e₂ = (0, 1, 0) sind orthogonal, ebenso (3, 4) und (−4, 3) in der Ebene.

Orthogonalität spielt in zahlreichen Bereichen eine grundlegende Rolle:

Signalverarbeitung: Die Basisfunktionen der Fourier-Analyse sind paarweise orthogonal, was die Zerlegung beliebiger Signale in Frequenzkomponenten ermöglicht.
Quantenmechanik: Orthogonale Zustandsvektoren beschreiben physikalisch unterscheidbare Zustände.
Maschinelles Lernen: Orthogonale Merkmale tragen unabhängige Information und vermeiden Redundanz.

Vektorprojektion

Eine der wichtigsten Anwendungen des Skalarprodukts ist die Berechnung von Projektionen. Die skalare Projektion von a auf b — der Anteil von a in Richtung b — beträgt:

\text{proj}_{\text{s}} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

Die entsprechende Vektorprojektion (ein Vektor in Richtung b mit dieser Länge):

\text{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

Beispiel: a = (5, 3), b = (1, 0). Skalare Projektion: 5, Vektorprojektion: (5, 0) — die horizontale Komponente von a.

Vektorprojektionen werden unter anderem eingesetzt bei der Gram-Schmidtschen Orthogonalisierung, der Beleuchtungsberechnung in der 3D-Computergrafik sowie der Methode der kleinsten Quadrate in der Regressionsanalyse.

Anwendungsgebiete

Das Skalarprodukt tritt in Naturwissenschaften und Technik in vielfältigen Zusammenhängen auf:

Physik (Arbeit): Die mechanische Arbeit W = F · s ergibt sich als Skalarprodukt von Kraft und Weg.
Computergrafik: Die Helligkeit einer Oberfläche ist proportional zum Skalarprodukt des Oberflächennormale mit der Lichtrichtung (Lambert-Reflexionsmodell).
Textanalyse und Empfehlungssysteme: Die Kosinus-Ähnlichkeit zweier Dokument- oder Präferenzvektoren misst deren inhaltliche Übereinstimmung.
Numerische Lineare Algebra: Die Normalengleichungen der linearen Regression werden durch Nullsetzen bestimmter Skalarprodukte hergeleitet.

Beziehung zum Kreuzprodukt

Für dreidimensionale Vektoren ergänzen sich Skalarprodukt und Kreuzprodukt: Das Skalarprodukt a · b = |a| |b| cos θ erfasst den gleichgerichteten Anteil, während der Betrag des Kreuzprodukts |a × b| = |a| |b| sin θ den senkrechten Anteil widerspiegelt (und der Fläche des von beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht). Beide Größen zusammen beschreiben die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was bedeutet das Skalarprodukt geometrisch?

Das Skalarprodukt a · b = |a| |b| cos θ misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Bei θ = 0° (gleichgerichtete Vektoren) nimmt es seinen Maximalwert an, der dem Produkt der Beträge entspricht. Bei θ = 90° (senkrechte Vektoren) ist es null. Bei θ > 90° ist es negativ, was bedeutet, dass die Vektoren voneinander wegzeigen. Geometrisch entspricht a · b dem Betrag von a multipliziert mit der Projektion von b auf a (dem skalaren Anteil von b in Richtung a).

Wann ist das Skalarprodukt gleich null?

Das Skalarprodukt ist genau dann null, wenn cos θ = 0, also bei θ = 90°. Die beiden Vektoren stehen dann senkrecht aufeinander (sind orthogonal). Auch wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist, ergibt das Skalarprodukt stets null — unabhängig von der Richtung des anderen Vektors. In der Praxis bestätigt ein Skalarprodukt von null, dass zwei Kräfte, Achsen oder Signalkomponenten vollständig unabhängig voneinander sind: Die Standardbasisvektoren e₁ = (1, 0, 0) und e₂ = (0, 1, 0) etwa haben ein Skalarprodukt von null.

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Aus der geometrischen Definition folgt: θ = arccos(a · b / (|a| |b|)). Man berechnet das Skalarprodukt, dividiert es durch das Produkt der Beträge und erhält cos θ ∈ [−1, 1]. Der Arkuskosinus liefert stets einen Winkel im Bereich [0°, 180°].

Beispiel in zwei Dimensionen: a = (3, 4), b = (0, 5). Skalarprodukt: 20, |a| = 5, |b| = 5, also cos θ = 20/25 = 0,8 und θ = arccos(0,8) ≈ 36,87°.

Wie berechnet man die Projektion eines Vektors auf einen anderen?

Die skalare Projektion von a auf b — also der Anteil von a in Richtung b — ergibt sich als a · b / |b|. Die entsprechende Vektorprojektion (ein Vektor in Richtung b) lautet: (a · b / |b|²) · b.

Beispiel: a = (3, 4), b = (1, 0). Skalare Projektion: 3, Vektorprojektion: (3, 0). Vektorprojektionen werden unter anderem in der Methode der kleinsten Quadrate, bei der Beleuchtungsberechnung in der 3D-Computergrafik und bei der Gram-Schmidtschen Orthogonalisierung eingesetzt.

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