Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Was dieser Rechner macht

Dieser Rechner löst ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten x, y und z:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

Aus den zwölf Koeffizienten und Konstanten liefert er mit der Cramerschen Regel die eindeutige Lösung (x, y, z) oder meldet, dass keine eindeutige Lösung existiert, wenn die Koeffizientenmatrix singulär ist.

Cramersche Regel für ein 3×3-System

Die Cramersche Regel drückt jede Unbekannte als Verhältnis von Determinanten aus. Zuerst wird die Determinante der Koeffizientenmatrix berechnet:

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$$

Für D ≠ 0 lautet die eindeutige Lösung:

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$

Jede Zählerdeterminante ist die Koeffizientendeterminante, bei der eine Spalte durch die Konstantenspalte (d₁, d₂, d₃) ersetzt wurde:

$$D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$

Das folgt direkt aus der linearen Algebra: Für eine reguläre Matrix A ist die Lösung von Av = d gleich v = A⁻¹d, und die Cramersche Regel ist genau diese Inverse, Determinante für Determinante ausgeschrieben.

Geometrische Bedeutung

Jede Gleichung beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum. Das System zu lösen heißt, den Punkt zu finden, in dem sich alle drei Ebenen treffen.

• D ≠ 0 (eindeutige Lösung): Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. Die Koeffizientenmatrix ist invertierbar.
• D = 0 (keine eindeutige Lösung): Die Ebenen treffen sich nicht in einem einzigen Punkt. Sie teilen entweder eine gemeinsame Gerade (unendlich viele Lösungen) oder haben gar keinen gemeinsamen Punkt (keine Lösung). Die Cramersche Regel kann hier keine einzelne Antwort liefern.

Rechenbeispiel

Wir lösen das voreingestellte System:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Schritt 1 — Determinante der Koeffizientenmatrix:

$$D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big)$$ $$D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1$$

D ≠ 0, also gibt es eine eindeutige Lösung.

Schritt 2 — x bestimmen (x-Spalte durch die Konstanten ersetzen):

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2$$

Schritt 3 — y bestimmen (y-Spalte durch die Konstanten ersetzen):

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3$$

Schritt 4 — z bestimmen (z-Spalte durch die Konstanten ersetzen):

$$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1$$

Verifikation:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Wenn die Determinante null ist

Ist D = 0, sind die drei Zeilen der Koeffizientenmatrix linear abhängig — eine Gleichung ist eine Kombination der anderen. Zwei Fälle sind möglich:

• Unendlich viele Lösungen: Die Konstanten sind mit der Abhängigkeit verträglich, sodass die Ebenen eine ganze Gerade gemeinsamer Punkte teilen.
• Keine Lösung: Die Konstanten widersprechen der Abhängigkeit, sodass sich die Ebenen nie in einem Punkt treffen.

Die Cramersche Regel gilt nur für D ≠ 0, weshalb der Rechner bei D = 0 „keine eindeutige Lösung“ meldet. Um den entarteten Fall genau einzuordnen, bringt man die erweiterte Matrix per Gaußscher Elimination auf Stufenform und vergleicht den Rang der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Matrix.

Anwendungen

Lineare Systeme mit drei Variablen treten in Algebra und Analysis-Vorkursen auf, in der Schaltungsanalyse (Kirchhoffsche Gesetze über drei Maschen), beim Ausgleichen chemischer Reaktionen und überall dort, wo drei lineare Bedingungen gleichzeitig gelten müssen. Die Cramersche Regel liefert eine direkte geschlossene Antwort und eignet sich daher gut, um ein kleines System zu prüfen oder eine Lösung symbolisch auszudrücken.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was sagt mir die Determinante?

Die Determinante D der Koeffizientenmatrix entscheidet, ob das System eine eindeutige Antwort hat. Ist D ≠ 0, schneiden sich die drei Ebenen in genau einem Punkt, sodass x, y und z eindeutig bestimmt sind. Ist D = 0, sind die Ebenen so angeordnet, dass sie eine ganze Gerade oder gar keinen gemeinsamen Punkt teilen, und die Cramersche Regel kann keine einzelne Lösung liefern.

Worin unterscheidet sich die Cramersche Regel vom Eliminationsverfahren?

Das Gaußsche Eliminationsverfahren und das Einsetzungsverfahren erreichen dasselbe Ergebnis über schrittweise Zeilenoperationen. Die Cramersche Regel schreibt jede Unbekannte dagegen direkt als Verhältnis von Determinanten: x = Dₓ/D, y = D_y/D, z = D_z/D. Sie ist praktisch für eine geschlossene Form und für Systeme, die man symbolisch auswerten möchte, während die Elimination bei größeren Systemen meist schneller ist.

Warum zeigt mein System „keine eindeutige Lösung“ an?

Diese Meldung erscheint, sobald D = 0 ist. Die drei Gleichungen sind dann linear abhängig: Mindestens eine ist eine Kombination der anderen. Je nach Konstanten hat das System entweder unendlich viele Lösungen (die Ebenen teilen eine Gerade) oder keine (die Ebenen treffen sich nie in einem gemeinsamen Punkt). Die Cramersche Regel gilt nur für D ≠ 0 und bricht hier daher ab.

Wie kann ich die Lösung überprüfen?

Setze die erhaltenen Werte x, y und z in alle drei Ausgangsgleichungen ein. Jede linke Seite sollte ihrer rechten Seite (d₁, d₂, d₃) entsprechen. Da die Lösung aus exakten Determinantenverhältnissen berechnet wird, ist eine geringe Rundung in den angezeigten Dezimalstellen normal; die zugrunde liegenden Werte erfüllen die Gleichungen mit voller Genauigkeit.