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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Rechner für die mittlere absolute Abweichung

Eingaben

Datensatz4, 8, 6, 5, 3, 7

Ergebnisse

Mittlere absolute Abweichung1,5
\begin{aligned} D &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} |x_i - \bar{x}| \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{6} \\ &= 1,5 \end{aligned}
Mittelwert5,5
\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} x_i \\ &= 5,5 \end{aligned}
MAD um den Median1,5
\begin{aligned} D_{m} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} |x_i - \tilde{x}| \\ &= 1,5 \end{aligned}
Median5,5
Anzahl6

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/mean-absolute-deviation

Mathematik

Rechner für die mittlere absolute Abweichung

Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung (MAD) eines Datensatzes — den durchschnittlichen Abstand jedes Werts vom Mittelwert. Geben Sie kommagetrennte Werte ein, um auch Mittelwert, Median und die MAD um den Median zu sehen.

Eingaben

Ergebnisse

\begin{aligned} D &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} |x_i - \bar{x}| \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{6} \\ &= 1,5 \end{aligned}

Details

\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} x_i \\ &= 5,5 \end{aligned}
\begin{aligned} D_{m} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} |x_i - \tilde{x}| \\ &= 1,5 \end{aligned}

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Die mittlere absolute Abweichung

Die mittlere absolute Abweichung (MAD) eines Datensatzes ist der durchschnittliche Abstand jedes Werts vom Mittelwert. Für Werte x₁, x₂, …, xₙ mit Mittelwert x̄ lautet die MAD:

MAD = (1/n) Σ |xᵢ − x̄|

Jeder Term |xᵢ − x̄| ist die absolute Abweichung eines einzelnen Werts vom Mittelwert — wie weit er vom Zentrum entfernt liegt, ohne Berücksichtigung der Richtung. Der Durchschnitt dieser Abstände liefert eine einzige Zahl in derselben Einheit wie die Daten und beantwortet eine unmittelbare Frage: Wie weit liegt ein typischer Wert im Durchschnitt von der Mitte entfernt?

Da die Abweichungen als Beträge genommen werden, heben sich positive und negative Differenzen nicht auf. Eine MAD von null bedeutet, dass jeder Wert dem Mittelwert entspricht; eine größere MAD bedeutet, dass die Daten stärker streuen.

So wird sie berechnet

Die Berechnung erfolgt in drei Schritten:

  1. Mittelwert bestimmen. Alle Werte addieren und durch die Anzahl teilen.
  2. Jede absolute Abweichung bestimmen. Vom jeweiligen Wert den Mittelwert abziehen und das Vorzeichen weglassen.
  3. Die Abweichungen mitteln. Die absoluten Abweichungen addieren und durch die Anzahl teilen.

Dieser letzte Durchschnitt ist die mittlere absolute Abweichung.

Rechenbeispiel

Betrachten wir den Datensatz 4, 8, 6, 5, 3, 7.

  • Anzahl: n = 6
  • Mittelwert: (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7) / 6 = 33 / 6 = 5,5

Nun die absolute Abweichung jedes Werts von 5,5:

  • |4 − 5,5| = 1,5
  • |8 − 5,5| = 2,5
  • |6 − 5,5| = 0,5
  • |5 − 5,5| = 0,5
  • |3 − 5,5| = 2,5
  • |7 − 5,5| = 1,5

Die Summe der absoluten Abweichungen ist 1,5 + 2,5 + 0,5 + 0,5 + 2,5 + 1,5 = 9. Geteilt durch die Anzahl ergibt sich:

MAD = 9 / 6 = 1,5

Im Durchschnitt liegt also jeder Wert 1,5 Einheiten vom Mittelwert entfernt.

MAD im Vergleich zur Standardabweichung

MAD und Standardabweichung messen beide die Streuung, behandeln Abweichungen aber unterschiedlich. Die MAD mittelt die absoluten Abweichungen, während die Standardabweichung die quadrierten Abweichungen mittelt und daraus die Wurzel zieht. Das Quadrieren betont große Abweichungen, sodass die Standardabweichung stärker auf Ausreißer reagiert als die MAD.

Bei einer Normalverteilung beträgt die MAD etwa das 0,8-Fache der Standardabweichung. Die MAD ist leichter zu erklären und robuster gegenüber Extremwerten; die Standardabweichung besitzt algebraische Eigenschaften, die sie zum Standardwerkzeug der schließenden Statistik machen. Wenn eine schlichte, verständliche Beschreibung der Streuung gefragt ist, ist die MAD oft die klarere Wahl.

MAD um den Median

Die mittlere absolute Abweichung wird üblicherweise um den Mittelwert gebildet, kann aber auch vom Median aus gemessen werden:

MAD(Median) = (1/n) Σ |xᵢ − x̃|

wobei x̃ der Median ist. Diese Variante ist robuster gegenüber Ausreißern, da der Median selbst nicht von Extremwerten beeinflusst wird. Nützlich ist die Tatsache, dass der Median die Summe der absoluten Abweichungen minimiert, sodass die MAD um den Median stets kleiner oder gleich der MAD um den Mittelwert ist. Bei symmetrischen Daten fallen Mittelwert und Median zusammen, und beide Versionen liefern denselben Wert.

Im obigen Beispiel ist der Median von 3, 4, 5, 6, 7, 8 gleich (5 + 6) / 2 = 5,5, was dem Mittelwert entspricht, sodass die MAD um den Median ebenfalls 1,5 beträgt.

Wann die mittlere absolute Abweichung verwenden

Die MAD ist ein gutes Streumaß, wenn Interpretierbarkeit zählt. In den ursprünglichen Einheiten angegeben, liest sie sich direkt als durchschnittlicher Abstand vom Zentrum, weshalb sie in der einführenden Statistik, der Qualitätskontrolle und der Prognose verbreitet ist — der mittlere absolute Fehler von Prognosen ist genau eine MAD der Residuen.

Wenn das Ergebnis in weitere statistische Verfahren wie Regression, Konfidenzintervalle oder Hypothesentests einfließt, werden aus Gründen der mathematischen Bequemlichkeit meist Standardabweichung und Varianz bevorzugt. Für eine geradlinige Zusammenfassung der Streuung ist die MAD häufig das transparentere Maß.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die mittlere absolute Abweichung?

Die mittlere absolute Abweichung (MAD) misst die Streuung eines Datensatzes, indem sie mittelt, wie weit jeder Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Zuerst wird der Mittelwert berechnet, dann der absolute Abstand jedes Werts von diesem Mittelwert bestimmt und schließlich werden diese Abstände gemittelt. Da die Abstände als Beträge genommen werden, heben sich positive und negative Abweichungen nicht auf, und das Ergebnis ist eine einzige nichtnegative Zahl in derselben Einheit wie die Daten.

Eine MAD von null bedeutet, dass jeder Wert dem Mittelwert entspricht. Eine größere MAD signalisiert größere Streuung. Sie ist eines der anschaulichsten Streumaße, weil sie eine schlichte Frage beantwortet: Wie weit liegt ein typischer Wert im Durchschnitt vom Zentrum entfernt?

Wie unterscheidet sich die MAD von der Standardabweichung?

Beide beschreiben Streuung, gewichten Abweichungen aber unterschiedlich. Die mittlere absolute Abweichung mittelt die absoluten Abweichungen, während die Standardabweichung die quadrierten Abweichungen mittelt und daraus die Wurzel zieht. Das Quadrieren gibt großen Abweichungen mehr Gewicht, sodass die Standardabweichung stärker auf Ausreißer reagiert als die MAD.

Bei einer Normalverteilung beträgt die MAD etwa das 0,8-Fache der Standardabweichung. Die MAD ist leichter zu erklären und robuster gegenüber Extremwerten, während die Standardabweichung bequeme mathematische Eigenschaften hat, die sie in der schließenden Statistik dominieren lassen. Die Wahl hängt davon ab, ob Interpretierbarkeit oder analytische Handhabbarkeit wichtiger ist.

Was ist die MAD um den Median?

Die mittlere absolute Abweichung wird üblicherweise um den Mittelwert gebildet, kann aber auch vom Median aus gemessen werden — als Durchschnitt der absoluten Abstände vom Median. Diese Variante ist robuster gegenüber Ausreißern, da der Median selbst von Extremwerten unberührt bleibt.

Tatsächlich minimiert der Median die Summe der absoluten Abweichungen, sodass die MAD um den Median stets kleiner oder gleich der MAD um den Mittelwert ist. Dieser Rechner gibt beide aus, damit Sie die beiden Zentren nebeneinander vergleichen können. Bei einem symmetrischen Datensatz stimmen die beiden Werte überein.

Wann sollte ich die mittlere absolute Abweichung verwenden?

Die MAD ist eine gute Wahl, wenn ein leicht interpretierbares und vermittelbares Streumaß gewünscht ist, da sie in den ursprünglichen Einheiten angegeben wird und sich direkt als durchschnittlicher Abstand vom Zentrum lesen lässt. Sie ist in der einführenden Statistik, der Qualitätskontrolle und der Prognose verbreitet, wo der mittlere absolute Fehler von Vorhersagen genau eine MAD der Residuen ist.

Wenn die Analyse in weitere statistische Verfahren einfließt — Konfidenzintervalle, Regression oder Hypothesentests —, werden aufgrund ihrer algebraischen Eigenschaften meist Standardabweichung und Varianz bevorzugt. Für eine schlichte Beschreibung der Streuung ist die MAD oft die klarere Zusammenfassung.

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