Zuletzt aktualisiert: 2026-06-23

Stichprobengröße (Anteil)

Vor jeder Umfrage oder Erhebung steht eine Frage: Wie viele Personen müssen antworten? Eine zu kleine Stichprobe liefert eine Fehlermarge, die so breit ist, dass sie nicht mehr zwischen deutlich verschiedenen Antworten unterscheidet; eine zu große Stichprobe vergeudet Zeit und Budget für eine Genauigkeit, die niemand benötigt. Wird ein Anteil geschätzt — der Anteil der Zustimmenden, der Kaufbereiten, der mit „Ja" Antwortenden —, ergibt sich die benötigte Stichprobengröße unmittelbar aus drei Vorgaben: wie sicher die Schätzung sein soll, wie genau sie sein soll und einer groben Annahme über den Anteil selbst.

Die Formel

Zur Schätzung eines Anteils in der Grundgesamtheit lautet die Stichprobengröße, die eine vorgegebene Fehlermarge einhält,

$n = \dfrac{z^2 \cdot p(1 - p)}{E^2}$

Jeder Term hat eine eigene Rolle:

• $z_{\alpha/2}$ ist der kritische Wert der Standardnormalverteilung für das gewählte Konfidenzniveau. Er beträgt 1,645 bei 90 %, 1,96 bei 95 % und 2,576 bei 99 %. Ein höheres Konfidenzniveau bedeutet einen größeren kritischen Wert und damit eine größere Stichprobe.
• $p$ ist der erwartete (angenommene) Anteil, als Bruch zwischen null und eins geschrieben. Der Faktor $p\,(1 - p)$ ist die Varianz einer einzelnen Ja/Nein-Antwort.
• $E$ ist die Fehlermarge — die halbe Breite des Konfidenzintervalls, die gewünschte ±-Genauigkeit um die Schätzung. Eine kleinere Marge steht quadriert im Nenner, sodass eine Halbierung der Fehlermarge die Stichprobe etwa vervierfacht.

Warum 50 % der sichere Standard ist

Der Term $p\,(1 - p)$ verleiht dem Anteil seine Bedeutung und verhält sich auf günstige Weise. Er ist null, wenn der Anteil 0 oder 1 beträgt, und erreicht sein Maximum von 0,25 genau bei einem Anteil von 0,5. Ein Anteil nahe einer Hälfte ist also am schwersten zu schätzen — die Antworten streuen maximal —, während ein Anteil nahe den Extremen leichter zu schätzen ist.

Liegt bereits eine glaubwürdige Schätzung des Anteils aus einer Pilotstudie oder früherer Forschung vor, ist sie zu verwenden: Ein Wert abseits von 0,5 führt zu einer kleineren, günstigeren Stichprobe. Fehlt aber eine verlässliche Vorabinformation, ist die Annahme eines Anteils von 0,5 die konservative Wahl. Sie maximiert $p\,(1 - p)$, ergibt die größte benötigte Stichprobe und stellt damit sicher, dass die Fehlermarge unabhängig vom tatsächlichen Anteil eingehalten wird.

Rechenbeispiel

Angenommen, ein Anteil soll bei 95 % Konfidenz mit einer Fehlermarge von 5 Prozentpunkten geschätzt werden, und es liegt keine Vorabinformation vor, sodass ein Anteil von 0,5 angenommen wird. Mit einem kritischen Wert von 1,96:

Aufgerundet ergeben sich 385 Befragte — die vertraute Zahl hinter unzähligen Erhebungen mit „±3 %" und „±5 %". Verlangt man stattdessen 99 % Konfidenz, steigt der kritische Wert auf 2,576 und der Bedarf auf 664. Hätte eine Pilotstudie einen wahren Anteil näher bei 30 % nahegelegt, so wäre $p\,(1 - p)$ gleich 0,21 statt 0,25, und der Bedarf bei 95 % Konfidenz fiele auf 323.

Endlichkeitskorrektur

Die obige Formel setzt eine praktisch unendlich große Grundgesamtheit voraus, was eine gute Näherung ist, solange die Stichprobe nur ein kleiner Ausschnitt einer großen Gruppe ist. Wäre die Stichprobe ein großer Anteil einer kleinen, bekannten Grundgesamtheit $N$ — eine gängige Faustregel nennt mehr als etwa 5 % davon —, ist die Endlichkeitskorrektur anzuwenden:

$n_{\text{adj}} = \dfrac{n}{1 + \dfrac{n - 1}{N}}$

Sie senkt den Bedarf stets, mitunter erheblich. Befragt man etwa 385 Personen aus einer Gemeinde mit 2.000 Einwohnern, verringert die Korrektur die benötigte Stichprobe auf rund 323. Bei großen Grundgesamtheiten ist die Anpassung vernachlässigbar und kann entfallen.

Aufrunden

Die Stichprobengröße muss eine ganze Zahl von Befragten sein, und die Formel trifft fast nie genau eine ganze Zahl. Stets wird aufgerundet statt zum nächsten Wert gerundet: Ein Abrunden würde die erreichte Fehlermarge etwas breiter als vorgegeben ausfallen lassen, während das Aufrunden die geforderte Genauigkeit garantiert. Derselben Logik folgt der Stichprobengröße berechnen (Mittelwert), der eine Studie für die Schätzung eines Mittelwerts statt eines Anteils dimensioniert, sowie der Fehlermarge berechnen, der den Zusammenhang umkehrt und die Genauigkeit einer gegebenen Stichprobe angibt.