Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Dreieck aus zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel berechnen (SWS)

Der SWS-Fall (Seite-Winkel-Seite) tritt auf, wenn zwei Seitenlängen und der zwischen ihnen liegende Winkel bekannt sind. Mit dem Kosinussatz lässt sich zuerst die dritte Seite berechnen, anschließend alle Winkel, die Fläche sowie die Radien von Umkreis und Inkreis.

Die dritte Seite finden

Sind die Seiten $a$ und $b$ sowie der eingeschlossene Winkel $C$ bekannt, ergibt sich die dritte Seite $c$ (gegenüber $C$) aus:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Rechenbeispiel — $a = 5$, $b = 7$, $C = 60°$:

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6{,}245$

Für $C = 90°$ gilt $\cos 90° = 0$, und die Formel vereinfacht sich zum Satz des Pythagoras.

Flächeninhalt aus SWS

Die Fläche lässt sich direkt aus den zwei Seiten und dem Winkel berechnen, ohne $c$ vorher zu bestimmen:

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

Im obigen Beispiel: $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}155$.

Verbleibende Winkel bestimmen

Sobald $c$ bekannt ist, liefert erneute Anwendung des Kosinussatzes den Winkel $A$:

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Dann $B = 180° - A - C$.

Alternativ bietet der Sinussatz ($A = \arcsin(a\sin C \div c)$) einen kürzeren Rechenweg, ist aber weniger sicher, da $\arcsin$ für stumpfe Winkel mehrdeutig sein kann.

Umkreisradius und Inkreisradius

Mit allen drei Seiten und der Fläche berechnen sich die Radien zu:

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{mit } s = \frac{a+b+c}{2}$

Für das rechtwinklige Dreieck ($a = 3$, $b = 4$, $C = 90°$): $c = 5$, $S = 6$, $R = 2{,}5$, $r = 1$.

SWS und SSS im Vergleich

Bekannte Größen	Gesucht	Vorgehen
SSS (3 Seiten)	Alle Winkel	Kosinussatz (3×) + Heronsche Formel
SWS (2 Seiten + Winkel)	3. Seite, dann Winkel	Kosinussatz → SSS

SWS bietet sich an, wenn der Winkel direkt mit einem Winkelmesser oder Theodoliten bestimmt wird. Nach der Berechnung von $c$ kann das Problem wie ein SSS-Dreieck weiterbehandelt werden.

Der mehrdeutige Fall (SSW) — nicht SWS

SWS setzt voraus, dass der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten liegt. Liegt der Winkel nicht dazwischen, handelt es sich um SSW (Seite-Seite-Winkel) — ein mehrdeutiger Fall, der null, eine oder zwei Lösungen haben kann. Dieser Rechner löst ausschließlich den eindeutigen SWS-Fall.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die dritte Seite eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel?

Mit dem Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab cos C. Beispiel: a = 5, b = 7, C = 60°: c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39, also c = √39 ≈ 6,245. Für C = 90° vereinfacht sich die Formel zum Satz des Pythagoras.

Was bedeutet das SWS-Kongruenzkriterium?

SWS (Seite-Winkel-Seite) ist ein Kongruenzsatz: Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, ist das Dreieck eindeutig bestimmt. Liegt der bekannte Winkel nicht zwischen den beiden Seiten, entsteht der mehrdeutige SSW-Fall (Seite-Seite-Winkel), bei dem null, eine oder zwei Lösungen möglich sind.

Wie berechnet man nach dem SWS-Ansatz alle Winkel?

Sobald die dritte Seite c bekannt ist, liefert der Kosinussatz A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)); danach gilt B = 180° − A − C. Alternativ ist der Sinussatz verwendbar: A = arcsin(a sin C ÷ c). Der Kosinussatz ist jedoch sicherer, da arcsin bei stumpfen Winkeln mehrdeutig sein kann.

Wann nehme ich SWS, wann SSS?

SSS (drei Seiten bekannt) eignet sich, wenn alle Seitenlängen gemessen wurden. SWS wählt man, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel vorliegen — die dritte Seite wird dann per Kosinussatz berechnet, danach verfährt man wie bei SSS. In der Praxis kommt SWS häufig vor, wenn ein Winkel direkt mit einem Winkelmesser oder Theodoliten bestimmt wird.