Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck (45-45-90)

Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck besitzt zwei Winkel von je 45° und einen rechten Winkel (90°). Beide Katheten sind gleich lang – daher „gleichschenklig" –, und der rechte Winkel macht es zugleich zu einem rechtwinkligen Dreieck. Das Seitenverhältnis beträgt $1 : 1 : \sqrt{2}$ und ist neben dem Verhältnis $1 : \sqrt{3} : 2$ des 30-60-90-Dreiecks eines der wichtigsten Sonderverhältnisse der Geometrie.

Zusammenhang mit dem Quadrat

Schneidet man ein Quadrat der Seitenlänge $l$ entlang einer Diagonale, entstehen zwei kongruente 45-45-90-Dreiecke. Jede Kathete entspricht der Seitenlänge des Quadrats, die Hypotenuse entspricht der Diagonale. Genau deshalb taucht $\sqrt{2}$ in der Geometrie so häufig auf: Es ist das Verhältnis von Diagonale zu Seite eines Quadrats.

Formeln

Sei $l$ die Kathetenlänge.

Größe	Formel
Hypotenuse $c$	$l\sqrt{2}$
Flächeninhalt $S$	$l^2 / 2$
Umfang $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

Bekannte Größe	Kathete $l$	Hypotenuse $c$	Fläche $S$
Aus Kathete $l$	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
Aus Hyp. $c$	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
Aus Fläche $S$	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

Rechenbeispiel

Für $l = 5$:

$c = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071, \quad S = \frac{25}{2} = 12{,}5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17{,}07$

Herleitung der Formeln

Hypotenuse: Pythagoras auf die gleich langen Katheten $l$ angewendet:

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

Flächeninhalt: Grundseite $= l$, Höhe $= l$ (beide Katheten stehen senkrecht aufeinander):

$S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{l^2}{2}$

Aus der Hypotenuse: $l = c/\sqrt{2}$, also $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$.

Aus dem Flächeninhalt: $S = l^2/2$ ergibt $l = \sqrt{2S}$, dann $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

Weitere Eigenschaften

• Das 45-45-90-Dreieck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen Dreiecks mit einem Scheitelwinkel von 90°.
• Umkreisradius: $R = c/2$ (der rechte Winkel liegt auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse).
• Inkreisradius: $r = l(2-\sqrt{2})/2$.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welches Seitenverhältnis hat ein 45-45-90-Dreieck?

Ein 45-45-90-Dreieck besitzt zwei gleich lange Katheten und eine Hypotenuse. Das Verhältnis Kathete : Kathete : Hypotenuse beträgt 1 : 1 : √2. Ist jede Kathete l lang, so gilt für die Hypotenuse c = l√2 ≈ 1,414l. Beispiel: Bei einer Kathete von 5 ergibt sich c = 5√2 ≈ 7,071. Dieses Dreieck entsteht auf natürliche Weise, wenn man ein Quadrat entlang der Diagonale halbiert – beide Hälften sind kongruente 45-45-90-Dreiecke.

Wie berechnet man die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks aus den Katheten?

Mit dem Satz des Pythagoras: c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2. Für l = 5 gilt: c = 5√2 ≈ 7,071. Der Flächeninhalt berechnet sich zu S = l²/2 (Grundseite und Höhe sind beide gleich l), und der Umfang ist P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3,414l.

Wie berechnet man die Katheten eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks aus der Hypotenuse?

Aus l√2 = c folgt l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2. Für c = 10 ergibt sich l = 10 ÷ √2 ≈ 7,071. Der Flächeninhalt ist S = c²/4 (denn S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4) und der Umfang beträgt P = c(1 + √2) ≈ 2,414c.