Erstellt am: 13. Juni 2026 um 18:01

Poisson-Verteilung

Eingaben

Rate3
Ereignisanzahl2

Visualisierung

Wahrscheinlichkeitsmasse 0

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/poisson-distribution

Mathematik

Poisson-Verteilung

Berechnet P(X=k), P(X≤k) und P(X≥k) für eine Poisson-Verteilung mit Ratenparameter λ und Ereignisanzahl k. Inklusive Ableitungsschritte und Verteilungsdiagramm.

Eingaben

Parameter

Ergebnisse

Geben Sie einen Wert ein, um die Ergebnisse zu sehen.

Details

Wahrscheinlichkeiten

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

Verteilung

Wahrscheinlichkeitsmasse 0

Diesen Rechner einbetten

Vorschau

Fügen Sie diesen Code in Ihre Seite ein, um den Rechner anzuzeigen.

Diese Berechnung teilen

Wer diesen Link öffnet, sieht Ihre Werte bereits ausgefüllt.

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall beschreibt, wenn diese mit einer konstanten mittleren Rate auftreten. Sie gehört zu den grundlegenden Verteilungen der mathematischen Statistik und findet Anwendung in der Warteschlangentheorie, Zuverlässigkeitstechnik, Epidemiologie und Versicherungsmathematik.

Wahrscheinlichkeitsmassefunktion

Für einen Ratenparameter λ > 0 und eine nichtnegative ganze Zahl k ist die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF) definiert als:

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

Hierbei ist e die Eulersche Zahl (≈ 2,71828) und k! die Fakultät von k.

Die kumulative Verteilungsfunktion (KVF) ergibt sich als Summe der PMF-Werte von 0 bis k:

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

Die komplementäre KVF (Mindestens-k-Wahrscheinlichkeit) berechnet sich aus der Identität:

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

Erwartungswert und Varianz

Eine charakteristische Eigenschaft der Poisson-Verteilung: Erwartungswert und Varianz sind beide gleich λ.

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

Daraus folgt, dass die Standardabweichung √λ und der Variationskoeffizient 1/√λ beträgt. Für wachsendes λ nimmt die relative Streuung ab.

Rechenbeispiel

Eine Softwarefirma verzeichnet im Durchschnitt 5 Fehlermeldungen pro Tag (λ = 5). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag genau 3 Fehlermeldungen eingehen?

P(X=3)=e−5⋅533!=e−5⋅1256≈0,1404P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{e^{-5} \cdot 125}{6} \approx 0{,}1404

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 14,0 %. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Meldungen:

P(X≤3)=e−5(1+5+12,5+1256)≈0,2650P(X \leq 3) = e^{-5}\left(1 + 5 + 12{,}5 + \tfrac{125}{6}\right) \approx 0{,}2650

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 Meldungen:

P(X≥3)=1−P(X≤2)=1−e−5(1+5+12,5)≈0,8753P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - e^{-5}(1 + 5 + 12{,}5) \approx 0{,}8753

Herleitung aus der Binomialverteilung

Die Poisson-Verteilung entsteht als Grenzfall der Binomialverteilung Binomial(n, p), wenn n → ∞ und p → 0 bei konstantem Produkt np = λ:

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

Die wesentlichen Schritte sind:

  • Der Binomialkoeffizient n!/(k!(n−k)!) konvergiert gegen n^k/k!.
  • p^k = (λ/n)^k liefert λ^k/n^k, das sich mit n^k kürzt.
  • (1 − λ/n)^n konvergiert für n → ∞ gegen e^−λ.

Warum Erwartungswert und Varianz gleich sind

Bei der Binomialverteilung gilt Erwartungswert = np = λ und Varianz = np(1−p). Für p → 0 strebt (1−p) gegen 1, sodass auch die Varianz gegen np = λ konvergiert. Diese Gleichheit — Erwartungswert = Varianz = λ — ist das Markenzeichen der Poisson-Verteilung. Liegt in empirischen Daten die Varianz deutlich über dem Mittelwert (Überdispersion), ist ein negatives Binomialmodell oder ein Zero-Inflated-Modell gegebenenfalls besser geeignet.

Numerische Berechnung

Bei großem k führt die separate Berechnung von λ^k und k! zu Überlauf. Abhilfe schafft die Log-PMF-Form:

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

Der Term log k! wird iterativ als Summe log 2 + log 3 + … + log k berechnet und am Ende exponiert. Dieses Verfahren liefert für k bis in den dreistelligen Bereich stabile Ergebnisse.

Verwandte Verteilungen

  • Binomialverteilung: Die Poisson-Approximation ist verlässlich für n ≥ 20 und p ≤ 0,05 (oder n ≥ 100 und np ≤ 10).
  • Exponentialverteilung: Die Wartezeit zwischen aufeinanderfolgenden Poisson-Ereignissen folgt einer Exponentialverteilung mit Parameter λ; die mittlere Wartezeit beträgt 1/λ.
  • Normalverteilung: Für λ ≥ 30 ist (X − λ)/√λ näherungsweise standard­normalverteilt.
  • Geometrische Verteilung: Das diskrete Analogon zur Exponentialverteilung; sie beschreibt die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg in unabhängigen Bernoulli-Experimenten.

Anwendungsgebiete

  • Telekommunikation und Netzwerke: Modellierung von Paketankunftsraten in Routern; die M/M/1-Warteschlange setzt Poisson-Ankünfte voraus.
  • Zuverlässigkeitstechnik: Schätzung der Anzahl von Bauteilausfällen in einem Zeitintervall bei konstanter Ausfallrate.
  • Epidemiologie: Modellierung von Neuerkrankungen pro Woche in einer Region unter der Annahme einer konstanten Inzidenzrate.
  • Versicherungsmathematik: Schätzung der Schadensfallanteile und Berechnung von Risikoprämien für seltene Ereignisse.
  • Physik: Zählung von Photonen an einem Detektor oder radioaktiven Zerfällen, da jeder Kern unabhängig mit konstanter Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit zerfällt.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann ist die Poisson-Verteilung geeignet?

Die Poisson-Verteilung eignet sich, wenn die Anzahl unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall (Zeit, Fläche oder Volumen) gezählt wird. Voraussetzungen: Die Ereignisse treten unabhängig voneinander auf, die mittlere Rate λ ist konstant, und zwei Ereignisse können nicht exakt gleichzeitig auftreten. Typische Anwendungsfälle sind eingehende Anrufe pro Stunde in einem Callcenter, radioaktive Zerfallsereignisse pro Sekunde oder Druckfehler pro Seite.

Was bedeutet der Parameter λ (Lambda)?

λ ist die erwartete mittlere Anzahl der Ereignisse im gewählten Intervall. Empfängt ein Server durchschnittlich 5 Anfragen pro Minute, gilt λ = 5. Das Intervall kann beliebig gewählt werden — Sekunden, Meter, Seiten — solange λ proportional angepasst wird. Für eine halbe Minute gilt λ = 2,5; für zwei Minuten λ = 10.

Wie hängen Poisson- und Binomialverteilung zusammen?

Die Poisson-Verteilung ist der Grenzfall der Binomialverteilung für n → ∞ und p → 0, wenn das Produkt np = λ konstant bleibt. In der Praxis ist die Poisson-Näherung zuverlässig bei n ≥ 20 und p ≤ 0,05 (oder n ≥ 100 und np ≤ 10). Die rechenintensive Binomialformel wird durch das einfachere e^−λ λ^k / k! ersetzt.

Warum sind Erwartungswert und Varianz beide gleich λ?

Diese Gleichheit ist das charakteristische Merkmal der Poisson-Verteilung und folgt aus ihrer Herleitung als Grenzfall der Binomialverteilung: Erwartungswert = np = λ, Varianz = np(1−p) → np = λ für p → 0. Daraus ergeben sich Standardabweichung √λ und Variationskoeffizient 1/√λ. Liegt die beobachtete Varianz deutlich über dem Mittelwert (Überdispersion), bietet sich ein negatives Binomialmodell an.

Weitere Empfehlungen

Binomialverteilung Rechner

Berechnen Sie P(X=k), P(X≤k) und P(X≥k) für eine Binomialverteilung. Geben Sie Anzahl der Versuche, Anzahl der Erfolge und die Erfolgswahrscheinlichkeit ein.

 Mehr erfahren
Geometrische Verteilung Rechner

P(X=k) und kumulative Wahrscheinlichkeit P(X≤k) für die geometrische Verteilung berechnen — inklusive Erwartungswert, Varianz und Verteilungsdiagramm.

 Mehr erfahren
Normalverteilung Rechner

Z-Wert, kumulative Wahrscheinlichkeit P(X < x), P(X > x) und Perzentil für jede Normalverteilung berechnen — ohne Z-Tabelle.

 Mehr erfahren

200+ Rechner · 10 Sprachen · 100 % kostenlos

War dieser Rechner hilfreich?

Nein

Wie können wir diesen Rechner verbessern?
Bereitgestellt von OneCalc ↗