Zuletzt aktualisiert: 2026-07-02

Die Gleichung einer Hyperbel

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei festen Punkten — den Brennpunkten — sich um einen konstanten Betrag unterscheiden. Eine waagerechte Hyperbel mit Mittelpunkt $(h, k)$ hat die Normalform:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

Das Minuszeichen unterscheidet eine Hyperbel von einer Ellipse. Es erzeugt zwei getrennte Äste, die nach links und rechts öffnen und jeweils auf ein Paar gerader Asymptoten zulaufen. Dieser Rechner nimmt die reelle Halbachse $a$, die imaginäre Halbachse $b$ und den Mittelpunkt $(h, k)$ und liefert Brennpunktabstand, Scheitel, Brennpunkte, Exzentrizität und Asymptotensteigungen.

Scheitel, Brennpunkte und Brennpunktabstand

Die Scheitel sind die beiden Punkte, an denen die Äste einander am nächsten sind. Sie liegen auf der Hauptachse im Abstand $a$ vom Mittelpunkt:

$V = (h \pm a,\ k)$

Die Brennpunkte liegen weiter außen, im Abstand $c$ vom Mittelpunkt, wobei

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

Da $b^2 > 0$ ist, gilt stets $c > a$. Dies ist das Gegenteil der Ellipsen-Beziehung $c = \sqrt{a^2 - b^2}$: bei einer Hyperbel liegen die Brennpunkte jenseits der Scheitel, nicht innerhalb.

Asymptoten und Exzentrizität

Weit vom Mittelpunkt nähert sich jeder Ast einer von zwei Geraden durch den Mittelpunkt mit den Steigungen $\pm b/a$:

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Von Hand zeichnet man sie schnell, indem man das Grundrechteck der Breite $2a$ und Höhe $2b$ um $(h, k)$ skizziert; die Asymptoten sind seine verlängerten Diagonalen.

Die Exzentrizität misst, wie stark die Äste öffnen:

$e = \frac{c}{a}$

Da $c > a$, hat eine Hyperbel stets $e > 1$. (Eine Ellipse hat $0 \le e < 1$, eine Parabel liegt genau bei $e = 1$.)

Rechenbeispiel

Aufgabe: Beschreibe die Hyperbel $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

Schritt 1 — Halbachsen ablesen: $a^2 = 9$ und $b^2 = 16$, also $a = 3$ und $b = 4$. Der Mittelpunkt ist $(0, 0)$.

Schritt 2 — Scheitel: bei $(\pm a, 0) = (3, 0)$ und $(-3, 0)$.

Schritt 3 — Brennpunktabstand:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

also liegen die Brennpunkte bei $(5, 0)$ und $(-5, 0)$.

Schritt 4 — Exzentrizität:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Schritt 5 — Asymptoten: Steigung $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$, also $y = \pm \tfrac{4}{3}x$.

Diese Hyperbel hat somit Scheitel $(\pm 3, 0)$, Brennpunkte $(\pm 5, 0)$, Exzentrizität $5/3$ und Asymptoten $y = \pm\tfrac{4}{3}x$.

Der Halbparameter

Ein nützlicher Prüfpunkt ist die Höhe des Astes direkt über einem Brennpunkt. Setzt man $x = c$ in die Gleichung ein, ergibt sich $y = \pm b^2/a$, der sogenannte Halbparameter (semi-latus rectum). Im obigen Beispiel ist er $16/3 \approx 5{,}33$ — der Graph verläuft durch $(5, \pm 16/3)$, weshalb der Ast am Brennpunkt bereits recht hoch ist.

Wie sich Haupt- und Nebenachse unterscheiden

Die Hauptachse verbindet die beiden Scheitel und verläuft durch die Brennpunkte; ihre halbe Länge ist $a$. Die Nebenachse steht senkrecht dazu durch den Mittelpunkt; ihre halbe Länge ist $b$. Anders als bei einer Ellipse muss nicht $a > b$ gelten — die Äste schneiden die Hauptachse unabhängig davon, welche der beiden Größen größer ist. Für $a = b$ stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander, $y = \pm(x - h) + k$, und die Hyperbel heißt gleichseitig (rechtwinklig) mit der Exzentrizität genau $\sqrt{2}$.