Zuletzt aktualisiert: 2026-06-23

p-Wert aus z-Wert

Ein p-Wert überführt eine Teststatistik in eine einzige Zahl, die sich mit einer Entscheidungsschwelle vergleichen lässt. Dieser Rechner nimmt eine z-Statistik — einen bereits in Einheiten der Standardnormalverteilung ausgedrückten Wert — und gibt den zugehörigen p-Wert für einen zweiseitigen oder einseitigen Test aus.

Was die z-Statistik darstellt

Eine z-Statistik misst, wie weit ein beobachtetes Ergebnis von der Vorhersage der Nullhypothese entfernt liegt, gezählt in Standardfehlern. Ein z von 0 bedeutet, dass die Beobachtung genau auf der Erwartung der Nullhypothese liegt; ein z von 2 bedeutet, dass sie zwei Standardfehler darüber liegt. Da die Statistik bereits standardisiert ist, ist ihre Stichprobenverteilung unter der Nullhypothese die Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Wer von einer Rohbeobachtung statt von einer Teststatistik ausgeht, findet im Rechner Z-Wert Rechner, wie sie zunächst standardisiert wird.

Randflächen und die Normalverteilungsfunktion

Der p-Wert ist eine Fläche unter der Standardnormalkurve. Es bezeichne $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung — die Fläche links von einem gegebenen Punkt:

Der Rechner Normalverteilung Rechner stellt diese Fläche unmittelbar dar. Wie viel Fläche als „mindestens so extrem" zählt, hängt von der Alternativhypothese ab:

Ein zweiseitiger Test zählt extreme Ausgänge in beide Richtungen und verdoppelt daher die einzelne obere Randfläche jenseits von $|z|$. Ein einseitiger Test legt sich vorab auf eine Richtung fest und zählt nur diesen Rand.

Den p-Wert an α messen

Ein p-Wert wird mit einem vor der Analyse gewählten Signifikanzniveau $\alpha$ verglichen — am häufigsten dem Wert $\alpha = 0.05$. Gilt $p \lt \alpha$, wird das Ergebnis üblicherweise als statistisch signifikant bezeichnet und die Nullhypothese auf diesem Niveau verworfen. Gilt $p \ge \alpha$, reicht das Indiz nicht aus, um sie zu verwerfen. Die Schwelle ist eine Konvention, kein Naturgesetz: Sowohl $\alpha = 0.05$ als auch $\alpha = 0.01$ sind gebräuchlich, und die passende Wahl hängt von den Kosten eines Fehlalarms ab.

Rechenbeispiel

Ein zweiseitiger z-Test ergebe ein z von 2,5. Die obere Randfläche jenseits dieses Punktes beträgt $1 - \Phi(2.5) \approx 0.00621$, also:

Da $0.0124 \lt 0.05$ gilt, ist das Ergebnis auf dem Fünf-Prozent-Niveau signifikant, nicht jedoch auf dem Ein-Prozent-Niveau, da $0.0124 \gt 0.01$. Dieselbe Statistik als rechtsseitiger Test gedeutet ergäbe $p = 1 - \Phi(2.5) \approx 0.0062$.

Hinweise zur Deutung

Ein p-Wert wird vielfach falsch gelesen, daher sind einige Hinweise wichtig:

• Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese zutrifft. Er wird unter der Annahme berechnet, dass die Nullhypothese zutrifft, und beschreibt die Daten, nicht die Hypothese.
• Er hängt von den Annahmen des Tests ab. Die Verwendung der Normalverteilung setzt entweder eine bekannte Populationsstandardabweichung voraus oder eine Stichprobe, die groß genug ist, dass die Normalapproximation trägt. Bei kleiner Stichprobe und geschätzter Standardabweichung ist eine t-Verteilung angemessener.
• Große Stichproben machen winzige Effekte signifikant. Mit wachsendem Umfang schrumpft der Standardfehler, sodass selbst ein vernachlässigbarer Unterschied einen kleinen p-Wert ergeben kann. Der p-Wert sollte stets mit einer Effektstärke und einem Konfidenzintervall ergänzt werden, um die praktische Bedeutung zu beurteilen.

Statistische Signifikanz ist ein Ausgangspunkt der Deutung, kein abschließendes Urteil für sich.