Normalverteilung Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Normalverteilung berechnen

Dieser Rechner ermittelt Z-Wert, kumulative Wahrscheinlichkeit P(X < x), Gegenwahrscheinlichkeit P(X > x), Perzentil und Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) für jede Normalverteilung. Geben Sie Messwert, Mittelwert und Standardabweichung ein — eine Z-Tabelle ist nicht erforderlich.

Normalverteilung

Die Normalverteilung (Gaußsche Verteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die symmetrisch um ihren Mittelwert angeordnet ist und die typische Glockenkurvenform hat. Sie beschreibt viele natürliche und gesellschaftliche Phänomene: Körpergröße, Messfehler, IQ-Werte, Prüfungsergebnisse und Finanzkursrenditen nähern sich bei großen Stichproben einer Normalverteilung an.

Die Form der Verteilung ist durch zwei Parameter vollständig bestimmt:

• μ (Mittelwert) — der Schwerpunkt der Verteilung
• σ (Standardabweichung) — wie stark die Werte streuen

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion lautet:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

Der Z-Wert

Der Z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Messwert vom Mittelwert entfernt ist:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Z-Wert	Bedeutung
z = 0	Wert entspricht dem Mittelwert
z = 1	Eine σ oberhalb des Mittelwerts
z = −2	Zwei σ unterhalb des Mittelwerts
z > 3	Extremer Ausreißer — tritt < 0,3 % der Fälle auf

Z-Werte ermöglichen den Vergleich von Messwerten aus Verteilungen mit unterschiedlichen Skalen — zum Beispiel ein Testergebnis auf einer 100-Punkte-Skala mit einem Notendurchschnitt auf einer 1,0-bis-6,0-Skala.

Kumulative Wahrscheinlichkeit: P(X < x)

P(X < x) ist die Fläche unter der Glockenkurve links von x. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig gezogener Wert aus dieser Verteilung kleiner als x ist.

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

Dabei bezeichnet Φ(z) die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Standardnormalverteilung N(0, 1), und erf ist die Gaußsche Fehlerfunktion — eine spezielle mathematische Funktion, definiert als $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$.

Dieser Rechner verwendet die rationale Approximation nach Abramowitz & Stegun §7.1.26 (maximaler Fehler < 1,5 × 10⁻⁷) und ist auf 6 signifikante Stellen genau.

Die 68-95-99,7-Regel

Für jede Normalverteilung gelten drei praktische Faustregeln:

Bereich	Wahrscheinlichkeit
μ ± 1σ	~68,3 %
μ ± 2σ	~95,4 %
μ ± 3σ	~99,7 %

Nur etwa 1 von 370 Werten liegt mehr als 3 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt. In der Qualitätssicherung werden 3σ- oder 6σ-Grenzen als Toleranzbereiche für fehlerfreie Produktion eingesetzt. In der Labordiagnostik entsprechen die Referenzbereiche vieler Blutwerte und Messgrößen dem Intervall Mittelwert ± 2σ einer gesunden Referenzpopulation.

Rechenbeispiel

In einer Schulklasse hat eine Klausur den Mittelwert μ = 72 und die Standardabweichung σ = 8 Punkte. Ein Schüler erzielt x = 85 Punkte.

$$z = \frac{85 - 72}{8} = 1{,}625$$ $$P(X < 85) = \Phi(1{,}625) \approx 0{,}9479$$

Der Schüler liegt im ungefähren 95. Perzentil — er hat besser abgeschnitten als etwa 94,8 % der Klasse. Die oberen ca. 5,2 % der Klasse liegen über ihm.

Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) vs. kumulative Wahrscheinlichkeit

Größe	Symbol	Bedeutung
Wahrscheinlichkeitsdichte	f(x)	Höhe der Kurve an der Stelle x — keine Wahrscheinlichkeit
Kumulative Wahrscheinlichkeit	P(X < x)	Fläche links von x — eine echte Wahrscheinlichkeit

Bei kleinem σ (schmaler Verteilung) kann f(x) Werte größer als 1 annehmen — das ist korrekt, weil f(x) eine Dichte ist, keine Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen genauen Werts in einer stetigen Verteilung ist stets null; nur Intervalle haben eine positive Wahrscheinlichkeit.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Z-Wert und wie wird er berechnet?

Der Z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Messwert vom Mittelwert entfernt ist: z = (x − μ) / σ. Z = 0 bedeutet, der Wert entspricht genau dem Mittelwert; Z = 1 liegt eine Standardabweichung darüber; Z = −2 liegt zwei Standardabweichungen darunter.

Z-Werte ermöglichen den Vergleich von Werten aus Verteilungen mit unterschiedlichen Maßstäben — zum Beispiel ein Testergebnis auf einer 100-Punkte-Skala mit einem Notendurchschnitt auf einer 1,0-bis-6,0-Skala.

Was bedeutet P(X < x) bei der Normalverteilung?

P(X < x) ist die kumulative Wahrscheinlichkeit — der Anteil der Verteilung, der unterhalb von x liegt. Sie entspricht der Fläche unter der Glockenkurve links von x. Beispiel: P(X < 75) = 0,69 bedeutet, dass etwa 69 % aller Werte dieser Verteilung kleiner als 75 sind. P(X > x) = 1 − P(X < x) deckt den rechten Bereich ab.

Was ist die 68-95-99,7-Regel bei der Normalverteilung?

Bei jeder Normalverteilung fallen etwa 68 % der Werte in das Intervall Mittelwert ± 1σ, rund 95 % in Mittelwert ± 2σ und 99,7 % in Mittelwert ± 3σ. Werte mit |Z| > 3 gelten als statistische Ausreißer — sie treten in einer Normalverteilung seltener als 3 von 1.000 Mal auf. Die Regel wird in der Qualitätssicherung (3σ- und 6σ-Kontrolle) und in der Bewertung von Messunsicherheiten eingesetzt.

Wie ermittelt man das Perzentil aus einem Z-Wert?

Das Perzentil ergibt sich aus P(X < x) × 100. Z = 0 entspricht dem 50. Perzentil. Z = 1,28 entspricht ungefähr dem 90. Perzentil; Z = 1,645 dem 95. und Z = 2,326 dem 99. Dieser Rechner berechnet das Perzentil direkt — eine Z-Tabelle ist nicht erforderlich.