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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Betragsfunktion Gleichung lösen (|ax + b| = c)

Formel

|a\,x + b| = c

Eingaben

Koeffizient a2
Konstante b-3
Rechte Seite c7

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/absolute-value-equation

Mathematik

Betragsfunktion Gleichung lösen (|ax + b| = c)

Betragsgleichung |ax + b| = c nach x auflösen. Koeffizienten a, b und c eingeben — beide Lösungen erhalten oder sehen, warum c < 0 keine reelle Lösung hat.

Eingaben

Gleichung

|a\,x + b| = c

Ergebnisse

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Lösungen

\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{c - b}{a} \\ &= \dfrac{(7) - (-3)}{2} = ? \end{aligned}
\begin{aligned} x_2 &= \dfrac{-c - b}{a} \\ &= \dfrac{-(7) - (-3)}{2} = ? \end{aligned}

Lösung

\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{c - b}{a} \\ &= \dfrac{(7) - (-3)}{2} = ? \end{aligned}

Ergebnis

Der Betrag ist stets ≥ 0, daher hat |ax + b| = c für c < 0 keine reelle Lösung. Setze c auf einen Wert ≥ 0, um eine Lösung zu erhalten.

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Die Betragsgleichung

Eine Betragsgleichung der Form ∣ax+b∣=c|ax + b| = c fragt nach allen xx-Werten, für die der Ausdruck ax+bax + b den Abstand cc vom Nullpunkt hat. Dieser Rechner deckt alle drei möglichen Fälle ab: zwei Lösungen, eine Lösung und keine reelle Lösung.

Lösungsverfahren

Der entscheidende Gedanke: ∣Ausdruck∣=c|Ausdruck| = c bedeutet, der Ausdruck ist gleich cc oder gleich −c-c, denn beide Zahlen sind gleichweit vom Nullpunkt entfernt. Aus einer Betragsgleichung werden so zwei gewöhnliche lineare Gleichungen:

ax+b=cundax+b=−cax + b = c \quad \text{und} \quad ax + b = -c

Jede dieser Gleichungen nach xx aufgelöst (für a≠0a \neq 0):

x1=c−bax2=−c−bax_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}

Fallunterscheidung

Fall 1: c > 0 — zwei Lösungen

Ist cc positiv, liefern die beiden Gleichungen oben zwei verschiedene xx-Werte, die beide die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Rechenbeispiel: Löse $|2x - 3| = 7$.

Ablesen: $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$.

x1=7−(−3)2=102=5x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5 x2=−7−(−3)2=−42=−2x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Probe: ∣2⋅5−3∣=∣7∣=7|2 \cdot 5 - 3| = |7| = 7 ✓ und ∣2⋅(−2)−3∣=∣−7∣=7|2 \cdot (-2) - 3| = |-7| = 7 ✓

Fall 2: c = 0 — eine Lösung

Ist $c = 0$, vereinfachen sich beide Gleichungen zu $ax + b = 0$. Beide Formeln liefern dasselbe Ergebnis:

x1=x2=−bax_1 = x_2 = \frac{-b}{a}

Beispiel: ∣2x−4∣=0⇒x=4/2=2|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = 4 / 2 = 2.

Fall 3: c < 0 — keine reelle Lösung

Der Betrag ist stets nicht-negativ: ∣ax+b∣≥0|ax + b| \geq 0 für alle reellen xx. Ein negatives cc ist daher nie erreichbar — die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Beispiel: $|2x - 3| = -5$ ist unlösbar.

Geometrische Deutung

Auf dem Zahlenstrahl misst ∣u∣|u| den Abstand des Punktes uu vom Nullpunkt. Mit u=ax+bu = ax + b lautet die Gleichung:

∣ax+b∣=c|ax + b| = c

Die Frage ist also: „Für welche xx trifft der Funktionswert ax+bax + b genau die Punkte, die cc Einheiten vom Nullpunkt entfernt liegen?" Da der Abstand symmetrisch ist, gibt es zwei solche Punkte (+c+c und −c-c) und damit höchstens zwei xx-Werte.

Dieses geometrische Bild erklärt auch unmittelbar, warum $c < 0$ keine Lösung liefert: Ein Abstand ist niemals negativ, es gibt also keinen solchen Punkt auf dem Zahlenstrahl.

Sonderfall: a = 0

Ist $a = 0$, wird aus der Gleichung ∣b∣=c|b| = c — ein Ausdruck, der gar kein xx mehr enthält. Der Rechner wertet $a = 0$ als ungültige Eingabe, weil die Betragsgleichung keinen x-Term mehr besitzt und somit keine Gleichung in xx ist.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Warum kann eine Betragsgleichung zwei Lösungen haben?

|ax + b| = c bedeutet, dass der Ausdruck im Betrag entweder c oder −c ist, denn beide Werte haben denselben Betrag. Daraus entstehen zwei lineare Gleichungen — ax + b = c und ax + b = −c — die jeweils ein eigenes x liefern. Ist c > 0, sind beide Lösungen verschieden; ist c = 0, fallen die beiden Gleichungen zusammen und es gibt genau eine Lösung.

Was passiert, wenn c negativ ist?

Der Betrag ist stets ≥ 0, also kann |ax + b| niemals eine negative Zahl annehmen. Ist c < 0, hat die Gleichung |ax + b| = c keine reelle Lösung — es gibt kein x, das einen nicht-negativen Ausdruck auf einen negativen Wert abbildet.

Was bedeutet |x| anschaulich auf dem Zahlenstrahl?

Auf dem Zahlenstrahl gibt |x| den Abstand von x zum Nullpunkt an. Allgemeiner ist |ax + b| der Abstand des Punktes ax + b vom Nullpunkt. Die Gleichung |ax + b| = c fragt daher: „Für welche x liegt der Funktionswert ax + b genau c Einheiten vom Nullpunkt entfernt?" Die Antwort sind die beiden Punkte c und −c, woraus sich höchstens zwei x-Werte ergeben.

Was ist der Unterschied zu einer Betragsungleichung?

Eine Betragsgleichung (|ax + b| = c) sucht die genauen x-Werte, an denen der Ausdruck gleich c ist — das Ergebnis ist eine endliche Lösungsmenge. Eine Betragsungleichung (|ax + b| < c oder |ax + b| > c) sucht alle x, für die der Ausdruck kleiner oder größer als c ist — das Ergebnis ist ein Intervall oder eine Vereinigung von Strahlen.

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