Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Definition

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ist der Ausdruck D = b² − 4ac. Sie gibt an, wie viele und welche Art von Lösungen die Gleichung besitzt — ganz ohne das aufwändige Einsetzen in die Lösungsformel. Das Vorzeichen von D reicht aus, um den Lösungstyp zu bestimmen. Ab der Mittelstufe ist die Diskriminante ein Standardwerkzeug zur Analyse quadratischer Gleichungen.

Berechnung Schritt für Schritt

1. Quadrat des mittleren Koeffizienten: b²
2. Produkt der äußeren Koeffizienten, vierfach: 4 · a · c
3. Differenz: D = b² − 4ac

Kein Bruchrechnen, keine Wurzel — nur drei Grundoperationen. Das Ergebnis entscheidet über den Lösungstyp.

Das Vorzeichen der Diskriminante

Im Fall D = 0 liegt der Scheitelpunkt der Parabel genau auf der x-Achse; die einzige reelle Lösung ist x = −b / (2a).

Rechenbeispiele

Beispiel 1 — D > 0 (zwei reelle Lösungen)

Gleichung: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)

Rechnung: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1

Da D = 1 > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Einsetzen in die Lösungsformel ergibt x₁ = 2 und x₂ = 3 — die Parabel y = x² − 5x + 6 schneidet die x-Achse genau dort.

Beispiel 2 — D = 0 (doppelte Lösung)

Gleichung: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)

Rechnung: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0

Die doppelte Lösung ist x = −(−6) / (2 · 1) = 3. Die Gleichung lässt sich als (x − 3)² = 0 schreiben; der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei x = 3 auf der x-Achse.

Beispiel 3 — D < 0 (komplexe Lösungen)

Gleichung: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)

Rechnung: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3

Da D = −3 < 0, gibt es keine reellen Lösungen. Die beiden konjugiert-komplexen Lösungen lauten $x = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0{,}5 \pm 0{,}866i$. Der Wert $\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ entspricht dem Betrag des Imaginärteils.

Zusammenhang mit der Lösungsformel

Die quadratische Lösungsformel (auch „Mitternachtsformel" oder „abc-Formel" genannt) lautet:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Radikand unter der Wurzel ist die Diskriminante D. Bei D > 0 liefert das ± zwei verschiedene Lösungen. Bei D = 0 fällt der Wurzelterm weg, und es bleibt eine einzige Lösung. Bei D < 0 ist die Wurzel nicht reell definiert — man erhält komplexe Lösungen. Die Diskriminante klärt also vorab, in welchen dieser drei Fälle man sich befindet.

Sonderfall: a = 0

Ist a = 0, wird ax² + bx + c = 0 zur linearen Gleichung bx + c = 0. Die Formel D = b² − 4ac liefert zwar eine Zahl (nämlich b²), diese hat aber keine Aussagekraft als Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Dieser Rechner verlangt a ≠ 0 und zeigt bei a = 0 eine Fehlermeldung. Die Lösung der linearen Gleichung ist x = −c / b (für b ≠ 0).