Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Definition

Der Kosinussatz verknüpft alle drei Seiten eines Dreiecks mit dem Kosinus eines seiner Winkel. Für ein Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber von Seite c lautet die Formel:

c² = a² + b² − 2ab cos C

Diese eine Gleichung deckt zwei klassische Dreiecksberechnungen ab:

• SAS (Seite-Winkel-Seite): Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind bekannt. Der Kosinussatz liefert die dritte Seite.

• SSS (Seite-Seite-Seite): Alle drei Seiten sind bekannt. Dreimaliges Umstellen der Formel ergibt alle drei Winkel:

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

Rechenbeispiel: SAS

Bei der Vermessung eines Grundstücks sind zwei Seiten 83 m und 112 m lang, der eingeschlossene Winkel beträgt 54°. Wie lang ist die dritte Seite?

• a = 83, b = 112, C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0,5878
• c² ≈ 19 433 − 10 931 ≈ 8 502
• c ≈ 92,2 m

Rechenbeispiel: SSS

Ein dreieckiges Gartengrundstück hat die Seiten 5 m, 7 m und 6 m. Wie groß sind die Winkel an den Ecken?

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44,4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78,5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57,1°

Probe: 44,4° + 78,5° + 57,1° = 180°. ✓

Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras – Rechner (c² = a² + b²) ist ein Sonderfall des Kosinussatzes. Wenn Winkel C genau 90° beträgt, ist cos 90° = 0 und der Term 2ab cos C fällt weg — es bleibt c² = a² + b².

Für alle anderen Winkel gilt:

• C < 90° (spitz): cos C > 0, das abgezogene Glied verkürzt c.
• C > 90° (stumpf): cos C < 0, das Glied wird addiert und c ist länger als im rechtwinkligen Fall.

Diese geometrische Anschauung folgt unmittelbar aus der Definition des Skalarprodukts, das misst, wie stark ein Vektor auf einen anderen projiziert wird.

Kosinussatz vs. Sinussatz

Gegebene Information	Formel
Zwei Seiten + eingeschlossener Winkel (SAS)	Kosinussatz
Alle drei Seiten (SSS)	Kosinussatz
Zwei Winkel + eine Seite (AAS / ASA)	Sinussatz
Zwei Seiten + nicht eingeschlossener Winkel (SSA)	Sinussatz (Vorsicht: Mehrdeutigkeit möglich)

Der Sinussatz ist algebraisch einfacher, wenn ein Seite-Winkel-Paar vorliegt. Der Kosinussatz hat keinen Mehrdeutigkeitsfall und ist für SAS und SSS die sichere Wahl.

Dreiecksungleichung

Damit drei Längen ein Dreieck bilden, muss jede Seite kürzer sein als die Summe der beiden anderen. Ist eine Seite ≥ der Summe der übrigen (z. B. Seiten 1, 2, 10), fällt das Argument des Arkuskosinus aus [−1, 1] heraus und ist nicht definiert. Der Rechner zeigt eine Fehlermeldung. Kurztest: Seiten aufsteigend sortieren und prüfen, ob die Summe der zwei kürzeren die längste übersteigt.

Verwendung

SAS-Modus — „SAS — Seite c berechnen" wählen, Seiten a und b sowie den eingeschlossenen Winkel C in Grad eingeben. Der Rechner gibt Seite c aus.

SSS-Modus — „SSS — Winkel berechnen" wählen, alle drei Seiten a, b, c eingeben. Der Rechner gibt alle drei Winkel A, B, C in Grad zurück.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie hängt der Kosinussatz mit dem Satz des Pythagoras zusammen?

Der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab cos C verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke. Für C = 90° gilt cos 90° = 0 und die Formel vereinfacht sich zu c² = a² + b². Bei spitzen Winkeln (C < 90°) ist der Term 2ab cos C positiv, bei stumpfen Winkeln (C > 90°) wird cos C negativ und c länger als im rechtwinkligen Fall.

Wann nehme ich den Kosinussatz statt des Sinussatzes?

Den Kosinussatz verwendet man bei SAS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel) oder SSS (alle drei Seiten). Der Sinussatz ist einfacher, wenn bereits ein Seiten-Winkel-Paar bekannt ist, birgt aber im SSA-Fall eine Mehrdeutigkeit (zwei mögliche Dreiecke). Der Kosinussatz liefert stets eine eindeutige Lösung.

Was berechne ich im SAS-Modus?

Mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel ergibt sich die dritte Seite: c = √(a² + b² − 2ab cos C). Beispiel: a = 5, b = 7, C = 60° → c = √39 ≈ 6,245. Sind alle drei Seiten bekannt, kann man anschließend im SSS-Modus die fehlenden Winkel bestimmen.

Was passiert, wenn die drei Seiten kein gültiges Dreieck bilden?

Die Dreiecksungleichung verlangt, dass jede Seite kürzer als die Summe der anderen beiden ist. Ist dies verletzt (z. B. Seiten 1, 2, 10), liegt das Argument des Arkuskosinus außerhalb von [−1, 1]. Der Rechner zeigt eine Fehlermeldung. Schnelltest: Seiten aufsteigend sortieren und prüfen, ob die Summe der beiden kürzeren die längste übersteigt.