Zuletzt aktualisiert: 2026-05-21

Das Dreieck: das einfachste Polygon der Geometrie

Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten und drei Winkeln. Es ist die einfachste geschlossene Form in der zweidimensionalen Geometrie. Dieser Rechner deckt vier Methoden ab: Grundlinie und Höhe, Heronsche Formel (drei Seiten), SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel) sowie WSW (eine Seite und zwei anliegende Winkel).

Methode mit Grundlinie und Höhe

Die direkte Formel lautet:

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

Dabei ist $b$ die Länge einer beliebig gewählten Seite (Grundlinie) und $h$ die senkrechte Höhe — gemessen im rechten Winkel von der Grundlinie zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt.

Diese Formel gilt für alle Dreieckstypen:

• Spitzwinklige Dreiecke: Der Fußpunkt der Höhe liegt innerhalb der Grundlinie.
• Rechtwinklige Dreiecke: Eine Kathete ist die Grundlinie, die andere die Höhe.
• Stumpfwinklige Dreiecke: Der Fußpunkt der Höhe fällt außerhalb der Grundlinie, die Formel bleibt aber gültig.

Herleitung des Faktors ½

Ein Dreieck ist genau die Hälfte eines Parallelogramms mit gleicher Grundlinie und gleicher Höhe. Dupliziert man das Dreieck, dreht es um 180° und legt es an eine Seite, entsteht ein Parallelogramm mit Fläche $b \times h$. Das Dreieck hat damit die Fläche $\frac{b \times h}{2}$.

Heronsche Formel

Sind nur die drei Seitenlängen bekannt — ohne Höhe oder Winkel — liefert die Heronsche Formel die Fläche direkt:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Hierbei ist $s$ der Halbperimeter (halber Umfang). Die Formel geht auf Heron von Alexandria (ca. 60 n. Chr.) zurück.

Rechenbeispiel: 3-4-5-rechtwinkliges Dreieck

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

Probe mit der Grundlinien-Höhen-Formel: Die Katheten 3 und 4 stehen senkrecht aufeinander, also $A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis.

SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Sind zwei Seiten $p$ und $q$ sowie der eingeschlossene Winkel $C$ bekannt, ergibt sich die Fläche zu:

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

Das folgt aus der Grundlinien-Höhen-Formel: Mit $p$ als Grundlinie beträgt die Höhe $q \sin C$ (der senkrechte Anteil von $q$).

Beispiel: $p = 5$, $q = 7$, $C = 60°$

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}16$

Für $C = 90°$ gilt $\sin 90° = 1$, und die Formel vereinfacht sich zur bekannten rechtwinkligen Dreiecksfläche $\frac{1}{2} p q$.

WSW: eine Seite und zwei anliegende Winkel

Sind die Seite $c$ und die Winkel $A$ und $B$ an ihren Endpunkten bekannt, ergibt sich:

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

Diese Formel folgt aus dem Sinussatz, der die anderen beiden Seiten durch $c$ ausdrückt, eingesetzt in die SWS-Formel. Der dritte Winkel ist $C = 180° - A - B$.

Beispiel: $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$ (also $C = 70°$)

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22{,}6$

Dreiecksungleichung

Nicht jede Menge dreier positiver Zahlen ergibt ein reales Dreieck. Drei Längen $a$, $b$, $c$ bilden genau dann ein gültiges Dreieck, wenn gilt:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Wird eine dieser Bedingungen verletzt, lässt sich kein Dreieck konstruieren. Bei der Heronschen Formel wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ — ein unmittelbarer Hinweis auf eine geometrisch unmögliche Eingabe.

Seiten	Gültig?	Begründung
3, 4, 5	Ja	3+4=7 > 5 ✓
1, 2, 10	Nein	1+2=3 < 10 ✗
5, 5, 5	Ja	gleichseitig ✓

Anwendungen im Alltag

Architektur und Bauwesen. Dreieckige Fachwerkkonstruktionen bilden das Rückgrat von Dächern, Brücken und Kränen, da das Dreieck das einzige Polygon ist, das unter Last starr bleibt.

Vermessung. Geometer messen die drei Seiten eines Grundstücks und berechnen die Fläche mit der Heronschen Formel — ohne eine Senkrechte errichten zu müssen.

Computergrafik. Jede 3D-Oberfläche wird durch ein Dreiecksnetz approximiert. Die GPU berechnet Dreiecksflächen für Beleuchtung, Schatten und Kollisionserkennung.

Navigation. Triangulation nutzt drei bekannte Referenzpunkte, um eine unbekannte Position zu bestimmen.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann Satz des Pythagoras – Rechner eine fehlende Seite vor der Flächenberechnung ermitteln. Für verwandte Formen siehe auch Kreis: Fläche und Umfang berechnen und Regelmäßiges Polygon – Rechner.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Formel für die Dreiecksfläche?

Die gebräuchlichste Formel lautet A = ½ × Grundlinie × Höhe. Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundlinie zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt. Diese Formel gilt für jedes Dreieck, solange Grundlinie und zugehörige Höhe bekannt sind.

Was ist die Heronsche Formel?

Die Heronsche Formel berechnet die Fläche aus den drei Seitenlängen a, b und c ohne Kenntnis der Höhe. Zuerst wird der Halbperimeter berechnet: s = (a + b + c) ÷ 2, dann Fläche = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Für ein 3-4-5-rechtwinkliges Dreieck: s = 6, Fläche = √(6×3×2×1) = 6.

Wann bilden drei Längen kein Dreieck?

Drei Längen bilden nur dann ein gültiges Dreieck, wenn die Summe je zweier Seiten größer als die dritte ist (Dreiecksungleichung). Die Seiten 1, 2 und 10 scheitern, weil 1 + 2 = 3 < 10. Wird diese Bedingung verletzt, existiert kein Dreieck und die Heronsche Formel liefert einen negativen Wert unter der Wurzel.

Wie berechnet man die Dreiecksfläche aus zwei Seiten und einem Winkel?

Sind zwei Seiten p und q sowie der dazwischenliegende Winkel C bekannt, gilt: A = ½ × p × q × sin(C). Beispiel: p = 5, q = 7, C = 60° → A = ½ × 5 × 7 × sin(60°) ≈ 15,16. Die Formel ergibt sich daraus, dass die Höhe des Dreiecks gleich q × sin(C) ist.

Wie berechnet man die Dreiecksfläche aus einer Seite und zwei Winkeln?

Sind Seite c und die Winkel A und B an ihren Endpunkten bekannt (mit C = 180° − A − B), gilt: A = c² × sin(A) × sin(B) ÷ (2 × sin(A + B)). Beispiel: c = 8, A = 50°, B = 60° → Fläche = 64 × sin(50°) × sin(60°) ÷ (2 × sin(110°)) ≈ 22,6.