Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Die arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied aus dem vorherigen durch Addition einer konstanten Zahl – der gemeinsamen Differenz d – entsteht. Bei erstem Glied a₁ sieht die Folge so aus:

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

Typisches Beispiel aus dem Schulunterricht: 3, 7, 11, 15, … (a₁ = 3, d = 4). Der Rechner ermittelt in einem Schritt das n-te Glied (aₙ), die Partialsumme (Sₙ) und den Durchschnitt der ersten n Glieder.

Formel für das n-te Glied

Das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

Herleitung: Von a₁ bis aₙ werden genau n−1 Schritte gemacht, bei jedem Schritt wird d addiert.

Rechenbeispiel. Die Folge 5, 9, 13, 17, … hat a₁ = 5 und d = 4. Das 15. Glied beträgt:

$$a_{15} = 5 + (15 - 1) \times 4 = 5 + 56 = 61$$

Summenformel und der Gauß-Trick

Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge ergibt sich zu:

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

Das Paarungsprinzip erklärt die Formel: Jedes erste Glied und sein spiegelbildlich gegenüberliegendes letztes Glied ergeben dieselbe Summe. In der Folge 1 bis 100 zum Beispiel:

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

Es entstehen n/2 Paare, jedes mit derselben Paarsumme a₁ + aₙ, was Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 ergibt. Für die Zahlen 1 bis 100: 50 Paare à 101 = 5 050.

Ohne aₙ zuerst auszurechnen gilt auch:

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

Durchschnitt

Der Durchschnitt der ersten n Glieder entspricht dem arithmetischen Mittel von erstem und letztem Glied:

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

Das folgt direkt aus der gleichmäßigen Verteilung der Glieder – die Folge ist symmetrisch um diesen Mittelpunkt.

Zusammenhang mit linearen Funktionen

Arithmetische Folgen sind das diskrete Pendant zu linearen Funktionen. Trägt man die Position n auf der x-Achse und den Wert aₙ auf der y-Achse auf, liegen alle Punkte auf einer Geraden:

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

Die Differenz d entspricht der Steigung, (a₁ − d) dem y-Achsenabschnitt. Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I bildet dieser Zusammenhang den Übergang von Zahlenfolgen zur Analysis.

Sonderfälle

Bedingung	Auswirkung
d = 0	Konstante Folge; alle Glieder gleich a₁; Sₙ = n·a₁
d < 0	Monoton fallende Folge
d gebrochen	Problemlos möglich; gleichmäßig verteilte Dezimalzahlen
n = 1	aₙ = a₁; S₁ = a₁; Durchschnitt = a₁

Rechenbeispiel mit realistischen Werten

Ein Unternehmen zahlt im ersten Monat 2.500 € Ausbildungsvergütung und erhöht diese jeden Monat um 50 € (a₁ = 2.500, d = 50). Wie hoch ist die Vergütung im 36. Monat, und wie viel erhält die Auszubildende insgesamt über 36 Monate?

• a₁ = 2.500 €, d = 50 €, n = 36
• a₃₆ = 2.500 + (36 − 1) × 50 = 2.500 + 1.750 = 4.250 €
• S₃₆ = 36 × (2.500 + 4.250) / 2 = 36 × 3.375 = 121.500 € gesamt
• Monatsdurchschnitt: 3.375 €

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man das n-te Glied einer arithmetischen Folge?

Die Formel lautet aₙ = a₁ + (n − 1)·d, wobei a₁ das erste Glied, d die gemeinsame Differenz und n die Position ist. Beispiel: In der Folge 2, 5, 8, 11, … (a₁ = 2, d = 3) ist das 10. Glied 2 + 9·3 = 29.

Wie lautet die Summenformel für eine arithmetische Folge?

Die Summe der ersten n Glieder ist Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Diese Formel geht auf den Gauß'schen Paarungstrick zurück: Paare aus erstem und letztem Glied ergeben jeweils dieselbe Summe a₁ + aₙ, und es gibt n/2 solcher Paare. Alternativ: Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2.

Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Folge?

Eine arithmetische Folge addiert bei jedem Schritt eine feste Differenz d (lineares Wachstum). Eine geometrische Folge multipliziert mit einem festen Faktor q (exponentielles Wachstum). Beispiel: 2, 5, 8, 11 ist arithmetisch (d = 3); 2, 6, 18, 54 ist geometrisch (q = 3).

Darf die Differenz negativ oder gebrochen sein?

Ja – d kann jede reelle Zahl sein. Ein negatives d ergibt eine fallende Folge (z. B. 10, 7, 4, 1, −2, …). Gebrochene Differenzen sind ebenso möglich (z. B. d = 0,5 ergibt 1; 1,5; 2; 2,5; …). Bei d = 0 sind alle Glieder gleich und Sₙ = n·a₁.