Potenzrechner
Eingaben
| Basis | 2 |
|---|---|
| Exponent | 10 |
Potenzrechner
Berechnet b hoch n sowie den Kehrwert b^(−n). Unterstützt positive, negative und gebrochene Exponenten mit schrittweiser Herleitung.
Eingaben
Ergebnisse
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Definition
Die Potenz drückt eine wiederholte Multiplikation aus: Die Basis wird -mal mit sich selbst multipliziert.
bn=n Faktorenb×b×⋯×bDie Zahl heißt Exponent (auch: Hochzahl oder Index). So ist , weil 2 zehnmal mit sich selbst multipliziert wird.
Potenzgesetze
Die folgenden sechs Regeln beschreiben das Verhalten von Potenzen unter den Grundrechenarten. Jede lässt sich unmittelbar aus der Definition der wiederholten Multiplikation herleiten.
Produktgesetz — Exponenten werden addiert, wenn gleiche Basen multipliziert werden:
Quotientengesetz — Exponenten werden subtrahiert, wenn dividiert wird:
Potenz einer Potenz — Exponenten werden multipliziert, wenn eine Potenz potenziert wird:
Potenz eines Produkts — Der Exponent wird auf jeden Faktor verteilt:
Nullexponent — Jede Basis ungleich null, erhoben auf 0, ergibt 1:
Negativer Exponent — Ein negativer Exponent entspricht dem Kehrwert:
Negative Exponenten
Ein negativer Exponent steht für den Kehrwert der entsprechenden Potenz. Aus dem Quotientengesetz folgt:
Negative Exponenten begegnen einem in der Einheitenschreibweise — etwa m s⁻¹ für Geschwindigkeit — sowie in der wissenschaftlichen Darstellung sehr kleiner Zahlen: entspricht einem Nanometer.
Gebrochene Exponenten und Wurzeln
Ein gebrochener Exponent steht für eine Wurzel:
Häufige Fälle in der Übersicht:
| Ausdruck | Äquivalente Wurzel | Beispiel |
|---|---|---|
Damit das Ergebnis eine reelle Zahl ist, muss die Basis nicht-negativ sein — oder der Exponent muss sich zu einem Bruch mit ungeradem Nenner vereinfachen lassen.
Der Kehrwert
Der Kehrwert von ist . Es gilt . Der Kehrwert ist nicht definiert, wenn , also wenn die Basis null und der Exponent positiv ist.
0⁰ — die Konvention
Wenn Basis und Exponent beide null sind, ist in der Analysis ein unbestimmter Ausdruck, weil und aus verschiedenen Richtungen führen. In der diskreten Mathematik, der Kombinatorik und der Informatik wird jedoch einheitlich als 1 definiert. Diese Festlegung hält kombinatorische Identitäten — wie den binomischen Lehrsatz und Potenzreihen — an Randstellen konsistent. Dieser Rechner folgt der Konvention .
Rechenbeispiel
Eingaben: Basis 3, Exponent 4
Kehrwert:
Probe mit dem Produktgesetz:
Anwendungen
| Bereich | Beispiel |
|---|---|
| Zinseszinsrechnung | — Kapital wächst mit Zinssatz über Jahre |
| Binäre Datenmenge | Byte pro Kilobyte; Byte pro Gigabyte |
| Wissenschaftliche Notation | (Avogadro-Konstante); C (Elementarladung) |
| Signalverarbeitung | Leistungspegel skalieren mit ; Amplitudenpegel mit |
| Radioaktiver Zerfall | — verbleibende Menge nach der Zeit |
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ergibt 0 hoch 0?
0⁰ wird in der Mathematik und Informatik konventionell als 1 definiert. Die Begründung liegt im leeren Produkt: Das Produkt von null Faktoren entspricht dem neutralen Element der Multiplikation, also 1. Diese Festlegung hält Formeln wie den binomischen Lehrsatz und Taylorreihen an Randstellen konsistent.
In der Analysis wird 0⁰ mitunter als unbestimmter Ausdruck betrachtet, da die Grenzwerte $0^x o 0$ und $x^0 o 1$ aus unterschiedlichen Richtungen kommen. Für die Arithmetik und Kombinatorik gilt: 0⁰ = 1.
Was bedeutet ein negativer Exponent?
Ein negativer Exponent steht für den Kehrwert: Per Definition gilt $b^{-n} = 1 / b^n$. Zum Beispiel ist $2^{-3} = 1 / 2^3 = 1/8 = 0{,}125$. Negative Exponenten treten natürlicherweise in Einheitenbezeichnungen auf (m s⁻¹ für Geschwindigkeit) und in der wissenschaftlichen Schreibweise für sehr kleine Zahlen ($1 imes 10^{-9}$ = 1 Nanometer). Die Basis darf nicht null sein, wenn der Exponent negativ ist, da Division durch null nicht definiert ist.
Was bedeutet ein gebrochener Exponent?
Ein gebrochener Exponent entspricht einer Wurzel: $b^{1/n}$ ist die n-te Wurzel aus b, und $b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m}$. Zum Beispiel ist $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ und $16^{3/4} = (16^{1/4})^3 = 2^3 = 8$. Gebrochene Exponenten verallgemeinern die Potenzgesetze stetig und finden in der Algebra, Analysis und Physik breite Anwendung. Die Basis muss nicht-negativ sein, da Wurzeln negativer Zahlen im Allgemeinen komplex sind.
Warum werden Exponenten bei der Multiplikation gleicher Basen addiert?
Bei der Multiplikation $b^m \cdot b^n$ werden m Kopien von b mit n weiteren Kopien zusammengeführt, was insgesamt m + n Kopien ergibt — also $b^{m+n}$. Zum Beispiel: $2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^7 = 128$. Dieses Produktgesetz ist eines der grundlegenden Potenzgesetze.
Das entsprechende Quotientengesetz lautet $b^m / b^n = b^{m-n}$, und das Gesetz der Potenz einer Potenz lautet $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$.
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