Zuletzt aktualisiert: 2026-06-04

Was ist eine geometrische Folge?

Eine geometrische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied durch Multiplikation des vorherigen mit einer konstanten Zahl — dem Quotienten r — entsteht. Bei erstem Glied a₁ und Quotient r lautet die Folge:

$$a_1,\quad a_1 \cdot r,\quad a_1 \cdot r^2,\quad a_1 \cdot r^3,\quad \ldots$$

Beispiel aus der Schulmathematik: 2; 6; 18; 54; … (a₁ = 2, r = 3). Der Rechner bestimmt in einem Schritt das n-te Glied (aₙ), die Partialsumme (Sₙ) und — sofern |r| < 1 — den Grenzwert der unendlichen Reihe (S∞).

Formel für das n-te Glied

Das n-te Glied einer geometrischen Folge ergibt sich zu:

$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

Herleitung: Von a₁ bis aₙ werden genau n − 1 Multiplikationen mit r ausgeführt.

Rechenbeispiel. Die Folge beginnt bei a₁ = 3, der Quotient beträgt r = 2. Das 8. Glied ist:

$$a_8 = 3 \cdot 2^{8-1} = 3 \cdot 128 = 384$$

Summenformel

Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge (r ≠ 1) lautet:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$

Herleitung. Man schreibt Sₙ und r·Sₙ untereinander und subtrahiert:

$$S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^n \implies S_n \cdot (1 - r) = a_1 \cdot (1 - r^n)$$

Division durch (1 − r) liefert die Formel. Im Sonderfall r = 1 sind alle Glieder gleich a₁, sodass Sₙ = n · a₁.

Rechenbeispiel. Folge 2; 6; 18; 54; … (a₁ = 2, r = 3), Summe der ersten 5 Glieder:

$$S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$

Probe: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 ✓

Unendliche geometrische Reihe

Ist |r| < 1, strebt rⁿ für wachsendes n gegen null. Die unendliche Reihe konvergiert dann gegen den Grenzwert:

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$$

Für |r| ≥ 1 divergiert die Reihe — die Partialsummen wachsen unbeschränkt oder schwanken dauerhaft.

Beispiel. a₁ = 12, r = 1/3:

$$S_\infty = \frac{12}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{12}{\tfrac{2}{3}} = 18$$

Sonderfälle im Überblick

Bedingung	Auswirkung
r > 1	Monoton wachsende Folge; Sₙ wächst rasch
0 < r < 1	Monoton fallende Folge; S∞ konvergiert
r = 1	Konstante Folge; Sₙ = n · a₁; S∞ divergiert
−1 < r < 0	Alternierende, betragsmäßig abnehmende Folge; S∞ konvergiert
r = −1	Alternierende Folge ohne Konvergenz; S∞ divergiert
r < −1	Alternierende, betragsmäßig wachsende Folge; S∞ divergiert

Zusammenhang mit Zinseszins und Wachstumsmodellen

Die bekannteste Anwendung geometrischer Folgen in der Praxis ist der Zinseszins: Ein Kapital K₀ wächst mit jährlichem Zinssatz i nach n Jahren auf

$$K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n$$

Das ist formal identisch mit der geometrischen Folge (a₁ = K₀, r = 1 + i). Ebenso folgen Bevölkerungswachstum, Radioaktivitätszerfall und Medikamentenspiegel im Blut demselben Muster — im Zerfall mit 0 < r < 1.

Das stetige Gegenstück ist die Exponentialfunktion f(t) = a · e^(kt), in der die diskrete Position n durch die kontinuierliche Zeit t ersetzt wird.

Abgrenzung zur arithmetischen Folge

Eigenschaft	Arithmetisch	Geometrisch
Bildungsgesetz	aₙ = a₁ + (n−1)·d	aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹
Wachstumsart	linear	exponentiell
Typisches Beispiel	3; 7; 11; 15; …	3; 6; 12; 24; …
Unendliche Summe	divergiert stets	konvergiert für |r| < 1

Für die Berechnung arithmetischer Folgen steht ein der Arithmetische Folge Rechner zur Verfügung.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann konvergiert die unendliche geometrische Reihe?

Die unendliche Summe S∞ = a₁ / (1 − r) konvergiert genau dann, wenn der Betrag des Quotienten echt kleiner als 1 ist: |r| < 1. Gilt |r| ≥ 1, wachsen die Partialsummen unbeschränkt oder schwanken dauerhaft (bei r = −1 zwischen a₁ und 0).

Was passiert bei einem negativen Quotienten?

Ein negativer Quotient bewirkt einen Vorzeichenwechsel von Glied zu Glied: positiv, negativ, positiv, … Beispiel: a₁ = 4, r = −0,5 ergibt 4; −2; 1; −0,5; 0,25; … Da |r| = 0,5 < 1, konvergiert die unendliche Reihe: S∞ = 4 / (1 − (−0,5)) = 4 / 1,5 ≈ 2,667.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen geometrischen Folgen und exponentiellem Wachstum?

Jede geometrische Folge ist eine Exponentialfunktion, die an ganzzahligen Stellen ausgewertet wird: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹. Für r > 1 beschreibt sie exponentielles Wachstum (z. B. Zinseszins, Bevölkerungswachstum); für 0 < r < 1 exponentiellen Zerfall (z. B. radioaktiver Zerfall, Medikamentenabbau). Das stetige Analogon ist die Funktion f(t) = a · eᵏᵗ.

Kann der Quotient ein Bruch oder eine Dezimalzahl sein?

Ja — r kann jede von null verschiedene reelle Zahl sein, einschließlich Brüche und Dezimalzahlen. Ein Quotient von 1/2 halbiert jedes Glied (1; 0,5; 0,25; …), ein Quotient von 3/2 vergrößert jedes Glied um 50 % (1; 1,5; 2,25; 3,375; …). Problematisch sind nur r = 0 (alle Folgeglieder nach dem ersten wären null, die Standardformel ist dann nicht definiert) und r = 1 (alle Glieder gleich a₁; die unendliche Reihe divergiert).