Zuletzt aktualisiert: 2026-07-13

Was dieser Rechner macht

Dieser Rechner löst ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten x, y und z mit der Gauß-Elimination:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

Er schreibt die zwölf Koeffizienten und Konstanten als erweiterte Matrix, bringt diese Matrix mit Zeilenoperationen auf Zeilenstufenform und setzt dann rückwärts ein, um die Lösung (x, y, z) zu liefern. Ist die Koeffizientenmatrix singulär, meldet er, dass das System keine eindeutige Lösung hat.

Die erweiterte Matrix

Stapelt man die Koeffizienten und die rechten Seiten, erhält man die erweiterte Matrix; ein senkrechter Strich trennt den Koeffizientenblock von den Konstanten:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

Jeder Schritt der Gauß-Elimination ist eine Zeilenoperation an dieser Matrix: zwei Zeilen tauschen, eine Zeile skalieren oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Keine davon ändert die Lösungsmenge.

Vorwärtselimination

Ziel der Vorwärtselimination ist es, Spalte für Spalte Nullen unterhalb der Diagonale zu erzeugen, bis die Matrix obere Dreiecksform (Zeilenstufenform) hat.

Schritt 1 — die x-Spalte tilgen. Mit dem ersten Pivot a₁ zieht man ein Vielfaches von Zeile 1 von den Zeilen 2 und 3 ab:

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

Schritt 2 — die y-Spalte tilgen. Mit dem neuen zweiten Pivot b₂′ zieht man ein Vielfaches von Zeile 2 von Zeile 3 ab:

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

Die Matrix ist nun obere Dreiecksform:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

Rückwärtseinsetzung

Die letzte Zeile enthält nur noch z, wird also direkt gelöst, und die Werte pflanzen sich nach oben fort:

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

Da die Matrix dreieckig ist, ist ihre Determinante einfach das Produkt der Diagonal-Pivots, $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$. Ein von null verschiedenes Produkt bestätigt eine eindeutige Lösung.

Durchgerechnetes Beispiel

Löse das Standardsystem:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Schritt 1 — Multiplikatoren und erster Durchgang. Mit Pivot a₁ = 2:

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

Das Abziehen dieser Vielfachen von Zeile 1 ergibt

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

Schritt 2 — die y-Spalte tilgen. Mit Pivot b₂′ = 1/2:

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Schritt 3 — Rückwärtseinsetzung:

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

Die Determinante ist das Produkt der Pivots, $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$, was die eindeutige Lösung (x, y, z) = (2, 3, −1) bestätigt.

Probe:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Wenn die Elimination stockt

Zwei Situationen unterbrechen den sauberen Durchgang von oben:

• Null-Pivot, nichtsinguläres System. Ist ein Koeffizient auf der Diagonale null – etwa wenn die erste Gleichung keinen x-Term hat –, würde der Multiplikator durch null teilen. Die Abhilfe ist die Teilpivotisierung: die betroffene Zeile mit einer darunter tauschen, die in dieser Spalte einen von null verschiedenen Eintrag hat, und dann fortfahren. Die Lösung bleibt unverändert; nur die Zeilenreihenfolge ändert sich. Numerische Software tauscht auch den größten verfügbaren Pivot ein, um den Rundungsfehler zu begrenzen.
• Null-Pivot, der sich nicht beheben lässt. Erzeugt die Elimination eine Nullzeile über die Koeffizientenspalten hinweg, ist die Determinante null und die Koeffizientenmatrix singulär. Das System hat dann entweder unendlich viele Lösungen (die Konstanten sind mit der Abhängigkeit verträglich) oder gar keine (sie widersprechen ihr). Es existiert kein einzelnes (x, y, z).

Gauß-Elimination gegenüber der Cramerschen Regel

Beide Verfahren liefern bei einem nichtsingulären System dieselbe Antwort. Die Cramersche Regel drückt jede Unbekannte als Verhältnis von Determinanten aus, was bei einem 3×3-System hübsch ist, mit wachsender Größe aber teuer wird. Die Gauß-Elimination transformiert das ganze System mit Zeilenoperationen und skaliert weit besser – sie ist das Rückgrat der linearen Löser in numerischen Bibliotheken. Reduziert man ganz bis zur reduzierten Zeilenstufenform (RZSF), in der jeder Pivot 1 ist und die Einträge darüber ebenfalls getilgt sind, lässt sich die Lösung direkt ohne separaten Rückwärtsschritt ablesen.

Anwendungen

Systeme mit drei Variablen treten in der Algebra und der Analysis-Vorbereitung auf, in der Schaltungsanalyse mit den Kirchhoffschen Gesetzen über drei Maschen, beim Ausgleichen chemischer Reaktionen und überall dort, wo drei lineare Bedingungen zugleich gelten müssen. Die Gauß-Elimination ist die übliche Handmethode für solche Systeme und der begriffliche Ausgangspunkt für die LU-Zerlegung und den Großteil der computergestützten linearen Algebra.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Gauß-Elimination?

Die Gauß-Elimination ist ein systematisches Verfahren, um ein lineares Gleichungssystem durch Kombinieren der Gleichungen zu lösen. Man schreibt das System als erweiterte Matrix und zieht Vielfache einer Zeile von den anderen ab, um unterhalb der Diagonale Nullen zu erzeugen, bis die obere Dreiecksform (Zeilenstufenform) erreicht ist. Die letzte Zeile enthält dann nur noch eine Unbekannte, und die Rückwärtseinsetzung liefert die übrigen von unten nach oben.

Wie unterscheidet sich die Elimination von der Cramerschen Regel?

Beide führen zur selben Lösung. Die Cramersche Regel schreibt jede Unbekannte als Verhältnis von Determinanten, was bei einem 3×3-System kompakt ist, aber schnell aufwendig wird. Die Gauß-Elimination transformiert das gesamte System mit Zeilenoperationen; sie skaliert weit besser auf größere Systeme und ist das Verfahren hinter den meisten numerischen Linearalgebra-Programmen. Dieses Werkzeug zeigt die Eliminationsschritte, während die Determinante als Produkt der Pivots angegeben wird.

Was ist der Unterschied zwischen ZSF und reduzierter ZSF?

Die Zeilenstufenform (ZSF) hat unter jedem führenden Eintrag Nullen und ergibt eine obere Dreiecksform, die man durch Rückwärtseinsetzung abschließt. Die reduzierte Zeilenstufenform (RZSF) geht weiter: Jeder führende Eintrag ist 1 und jeder Eintrag darüber ist ebenfalls getilgt, sodass sich die Lösung direkt ablesen lässt. Dieser Rechner reduziert auf ZSF und setzt dann rückwärts ein – der klassische Weg der Gauß-Elimination.

Warum zeigt mein System „keine eindeutige Lösung"?

Diese Meldung erscheint, wenn die Determinante null ist, was bedeutet, dass eine Gleichung eine Linearkombination der anderen ist. Die Elimination erzeugt dann eine Nullzeile in den Koeffizientenspalten. Je nach Konstanten hat das System entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine. Eine eindeutige Lösung existiert nur, wenn alle drei Pivots von null verschieden sind.

Warum tauscht man bei der Elimination Zeilen?

Ist der Pivot, durch den geteilt werden soll, null, bricht die natürliche Eliminationsreihenfolge selbst bei einem System mit eindeutiger Lösung zusammen. Der Tausch der betroffenen Zeile mit einer darunter (Teilpivotisierung) bringt einen von null verschiedenen Eintrag auf die Diagonale, sodass die Elimination fortgesetzt werden kann. Numerische Software tauscht Zeilen auch, um den größten verfügbaren Pivot zu wählen, was die Rundungsfehler klein hält.