Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (2×2-System) besteht aus zwei linearen Gleichungen, in denen zwei Variablen x und y gemeinsam auftreten:

Die Koeffizienten a₁, b₁, a₂, b₂ sowie die rechten Seiten c₁ und c₂ sind gegebene Zahlen. Gesucht sind die Werte von x und y, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Der Rechner ermittelt diese Lösung mithilfe der Cramerschen Regel und zeigt alle Zwischenschritte an — einschließlich der Determinante und der einzelnen Cramer-Zähler.

Die Cramersche Regel

Zunächst wird die Determinante der Koeffizientenmatrix berechnet:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Ist D ≠ 0, lautet die eindeutige Lösung:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Jeder Zähler entspricht der Determinante der Koeffizientenmatrix, bei der eine Spalte durch den Vektor der rechten Seite ersetzt wird. Mathematisch steckt dahinter die Formel $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ — die Cramersche Regel ist deren komponentenweise Auflösung.

Geometrische Bedeutung

Jede Gleichung $ax + by = c$ beschreibt eine Gerade in der xy-Ebene. Das Gleichungssystem zu lösen bedeutet, den Schnittpunkt beider Geraden zu finden.

• D ≠ 0 (eindeutige Lösung): Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Die Koeffizientenmatrix ist regulär.
• D = 0, Zähler beide null (unendlich viele Lösungen): Die Geraden sind deckungsgleich — eine Gleichung ist ein Vielfaches der anderen. Jeder Punkt auf dieser Geraden ist eine Lösung.
• D = 0, mindestens ein Zähler ≠ 0 (keine Lösung): Die Geraden sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Das System ist widersprüchlich.

Rechenbeispiel

Wir lösen das voreingestellte Gleichungssystem:

$2x + 3y = 8 \quad \text{und} \quad x - y = 1$

Schritt 1 — Determinante berechnen:

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Da D ≠ 0, existiert eine eindeutige Lösung.

Schritt 2 — x berechnen:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2{,}2$

Schritt 3 — y berechnen:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Probe:

$2 \cdot 2{,}2 + 3 \cdot 1{,}2 = 4{,}4 + 3{,}6 = 8 \checkmark \quad \text{und} \quad 2{,}2 - 1{,}2 = 1 \checkmark$

Wenn die Determinante null ist

Ist D = 0, sind die beiden Zeilen der Koeffizientenmatrix proportional: $[a_1, b_1] = k\,[a_2, b_2]$. Dann entscheidet die rechte Seite:

• Ist auch $c_1 = k\,c_2$, sind beide Cramer-Zähler null → unendlich viele Lösungen.
• Weicht $c_1$ davon ab, ist mindestens ein Zähler von null verschieden → keine Lösung.

Kurzcheck: Beide Zähler $c_1 b_2 - c_2 b_1$ und $a_1 c_2 - a_2 c_1$ auf null prüfen. Sind sie es, liegt ein unbestimmtes System vor; andernfalls ist es widersprüchlich.