Pascalsches Dreieck Rechner

Anzahl der Zeilen N	8
Spalte k	3

Anzahl der Zeilen N

Spalte k

Zuletzt aktualisiert: 2026-07-02

Definition

Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Zahlenanordnung, in der jeder Eintrag ein Binomialkoeffizient ist. Die Spitze ist eine einzelne $1$ (Zeile $0$ ), und jede folgende Zeile beginnt und endet mit $1$ . Zeile $n$ enthält die Koeffizienten:

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

Das sind genau die Zahlen, die bei der Entwicklung von $(a + b)^n$ auftreten, weshalb das Dreieck am Schnittpunkt von Kombinatorik und Algebra steht.

Aufbau

Jeder innere Eintrag ist die Summe der beiden direkt darüberliegenden Einträge. Das ist die Pascalsche Regel:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Da die beiden äußeren Diagonalen stets $1$ sind (es gibt genau eine Möglichkeit, keine oder alle Elemente zu wählen, also $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ ), lässt sich das ganze Dreieck allein durch Addition ab der Spitze aufbauen:

Rechenbeispiel

Baue $6$ Zeilen und lies den Eintrag an Spalte $k = 2$ der untersten Zeile. Mit $N = 6$ hat die unterste Zeile den Zeilenindex $N - 1 = 5$ :

1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1

Der Eintrag an $k = 2$ ist der Binomialkoeffizient $\binom{5}{2}$ :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

Derselbe Wert folgt aus der Pascalschen Regel mithilfe der Zeile darüber ( $1, 4, 6, 4, 1$ ):

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

Zeilensummen

Die Einträge der Zeile $n$ ergeben stets eine Zweierpotenz:

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

Das folgt direkt aus dem binomischen Satz mit $a = b = 1$ : $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ . Für die obige Zeile gilt $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ — eine schnelle Kontrolle, ob eine Zeile korrekt übertragen wurde.

Muster

Im Dreieck verbergen sich mehrere bekannte Zahlenfolgen. Die äußerste Diagonale besteht nur aus $1$ en; die nächste zählt die natürlichen Zahlen $1, 2, 3, 4, \ldots$ ; die dritte liefert die Dreieckszahlen $1, 3, 6, 10, \ldots$ . Summiert man entlang der flachen Diagonalen, entsteht die Fibonacci-Folge. Jede Zeile ist außerdem symmetrisch:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

sie liest sich also von links wie von rechts gleich — welche $k$ Elemente man aufnimmt, ist dasselbe wie die Wahl der übrigen $n - k$ .

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Pascalsche Dreieck?

Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Zahlenanordnung, bei der jeder Eintrag ein Binomialkoeffizient ist. Die Spitze ist eine einzelne 1 (Zeile 0), und jede folgende Zeile beginnt und endet mit 1. Zeile n lautet C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) — die Koeffizienten, die bei der Entwicklung von (a + b)ⁿ auftreten. Zeile 4 ist zum Beispiel 1, 4, 6, 4, 1 und passt zu (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Wie entsteht jeder Eintrag?

Jeder innere Eintrag ist die Summe der beiden direkt darüberliegenden Einträge. Das ist die Pascalsche Regel: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Von der 1 an der Spitze ausgehend lässt sich das gesamte Dreieck allein durch Addition aufbauen, ganz ohne Fakultäten. Die Ränder sind stets 1, weil C(n, 0) = C(n, n) = 1 gilt.

Warum ergibt jede Zeile eine Zweierpotenz?

Die Einträge der Zeile n summieren sich zu 2ⁿ. Das folgt aus dem binomischen Satz mit a = b = 1: (1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ. So summiert sich Zeile 0 zu 1, Zeile 1 zu 2, Zeile 2 zu 4 und Zeile 10 zu 1024. Das ist eine schnelle Möglichkeit zu prüfen, ob eine Zeile korrekt notiert wurde.

Welche Muster verbergen sich im Pascalschen Dreieck?

Mehrere. Die äußerste Diagonale besteht nur aus 1en; die nächste zählt 1, 2, 3, 4, … (die natürlichen Zahlen); die dritte liefert die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, …. Summiert man entlang der flachen Diagonalen, entsteht die Fibonacci-Folge. Jede Zeile ist außerdem symmetrisch, weil C(n, k) = C(n, n − k) gilt, und liest sich von links wie von rechts gleich.

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