Zuletzt aktualisiert: 2026-07-02

Die Brennpunkt-Leitlinien-Definition einer Parabel

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt — dem Brennpunkt — genauso weit entfernt sind wie von einer festen Geraden — der Leitlinie. Diese eine Gleichgewichtsbedingung gibt der Parabel ihre Form. Der Scheitelpunkt, der Scheitel, liegt genau in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitlinie.

Für eine senkrecht (nach oben oder unten) geöffnete Parabel mit Scheitel $(h, k)$ lautet die Scheitelform:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

Die Zahl $p$ ist die Brennweite — der vorzeichenbehaftete Abstand vom Scheitel zum Brennpunkt. Aus ihr folgen alle Merkmale der Parabel:

$\text{Brennpunkt} = (h,\ k + p) \qquad \text{Leitlinie: } y = k - p \qquad \text{Achse: } x = h$

Dieser Rechner nimmt den Scheitel sowie $p$ oder den Leitkoeffizienten $a$ und liefert Brennpunkt, Leitlinie, Symmetrieachse, Brennweite und Latus rectum mit vollständigem Rechenweg.

Brennweite, Brennpunkt und Leitlinie

Da der Scheitel mittig zwischen Brennpunkt und Leitlinie liegt, haben beide vom Scheitel jeweils den Abstand $|p|$ — auf gegenüberliegenden Seiten. Geht man $p$ Einheiten entlang der Achse $x = h$ vom Scheitel aus, landet man beim Brennpunkt; in die andere Richtung landet man auf der Leitlinie.

$\text{Brennpunkt} = (h,\ k + p) \qquad \text{Leitlinie: } y = k - p$

Das Vorzeichen von $p$ legt die Öffnungsrichtung fest. Bei $p > 0$ öffnet sich die Kurve nach oben und der Brennpunkt liegt über dem Scheitel; bei $p < 0$ öffnet sie sich nach unten und der Brennpunkt liegt darunter.

Das Latus rectum

Das Latus rectum ist die Sehne durch den Brennpunkt senkrecht zur Symmetrieachse — die „Breite" der Parabel auf Höhe des Brennpunkts. Ihre Länge ist:

$L = |4p|$

Die Endpunkte des Latus rectum sind $(h - 2p,\ k + p)$ und $(h + 2p,\ k + p)$ — eine schnelle Möglichkeit, zwei zusätzliche Punkte auf Höhe des Brennpunkts einzuzeichnen.

Die Koeffizientenform

Viele Lehrbücher schreiben eine senkrechte Parabel als $y = a(x - h)^2 + k$. Das ist dieselbe Kurve — nur nach $y$ aufgelöst. Der Vergleich mit der Scheitelform zeigt den Zusammenhang zwischen Leitkoeffizient $a$ und Brennweite $p$:

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

Ein großer Betrag $|a|$ ergibt eine schmale Parabel mit kurzer Brennweite; ein kleiner Betrag $|a|$ eine breite Parabel mit weit entferntem Brennpunkt. Da $a$ und $p$ stets dasselbe Vorzeichen haben, verrät jedes von beiden die Öffnungsrichtung.

Rechenbeispiel

Aufgabe: Bestimme Brennpunkt, Leitlinie, Symmetrieachse und Latus rectum von $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$.

Schritt 1 — Scheitel ablesen. Der Vergleich mit $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ ergibt $h = 1$ und $k = -2$, der Scheitel ist also $(1, -2)$.

Schritt 2 — Brennweite bestimmen. Der Koeffizient rechts ist $4p = 8$, also:

$p = \frac{8}{4} = 2$

Schritt 3 — Brennpunkt bestimmen. Gehe $p = 2$ entlang der Achse nach oben:

$\text{Brennpunkt} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

Schritt 4 — Leitlinie bestimmen. Gehe $p = 2$ in die andere Richtung:

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

Schritt 5 — Achse und Latus rectum.

$\text{Achse: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

Die Parabel öffnet sich also nach oben mit Brennpunkt $(1, 0)$, Leitlinie $y = -4$, Achse $x = 1$ und einem Latus rectum der Länge $8$. In Koeffizientenform ist dieselbe Kurve $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$, da $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$.

Den Graphen lesen

Der Graph zeigt Scheitel $V$, Brennpunkt $F$ und Leitlinie $d$ zusammen, sodass die definierende Balance sichtbar wird: Wähle irgendeinen Punkt auf der Kurve, und sein Abstand nach unten zur Leitlinie ist genauso groß wie sein Abstand zum Brennpunkt. Der Scheitel liegt stets mittig zwischen $F$ und $d$, und die ganze Figur ist spiegelsymmetrisch zur Achse $x = h$.

Hinweise und Grenzen

Dieser Rechner behandelt senkrechte Parabeln der Form $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, die sich nach oben oder unten öffnen. Waagerechte Parabeln $(y - k)^2 = 4p(x - h)$, die sich nach links oder rechts öffnen, vertauschen die Rollen von $x$ und $y$: Ihre Achse ist waagerecht, der Brennpunkt liegt bei $(h + p, k)$ und die Leitlinie ist die senkrechte Gerade $x = h - p$. Die Brennweite $p$ darf nicht null sein — bei $p = 0$ entartet die Kurve und es gibt keine Parabel.