Zuletzt aktualisiert: 2026-05-20

Die quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung überführt einen quadratischen Ausdruck $ax^2 + bx + c$ in die Scheitelpunktform $a(x - h)^2 + k$, in der der Scheitelpunkt $(h, k)$ der Parabel unmittelbar sichtbar ist. Dieser Rechner führt die Umformung durch und zeigt alle Rechenschritte.

Vorgehen bei der quadratischen Ergänzung

Ausgangspunkt ist $ax^2 + bx + c$.

Schritt 1 – h bestimmen (x-Koordinate des Scheitelpunkts):

$$h = -\frac{b}{2a}$$

Schritt 2 – k bestimmen (y-Koordinate des Scheitelpunkts):

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Schritt 3 – Scheitelpunktform aufschreiben:

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

Algebraische Herleitung

Man klammert $a$ aus den ersten beiden Termen aus und ergänzt das fehlende quadratische Glied:

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

Das Glied $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ wird innerhalb der Klammer addiert (was den Ausdruck um $a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}$ vergrößert) und außerhalb wieder subtrahiert, sodass der Gesamtwert unverändert bleibt. Mit $h = -\frac{b}{2a}$ und $k = c - \frac{b^2}{4a}$ ergibt sich schließlich $a(x - h)^2 + k$.

Rechenbeispiel

Gesucht ist die Scheitelpunktform von $x^2 - 4x + 7$.

Hier ist $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$.

$$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ $$k = 7 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 7 - 4 = 3$$ $$x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3$$

Probe: $(x - 2)^2 + 3 = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7$ ✓

Der Scheitelpunkt liegt bei $(2, 3)$, die Symmetrieachse ist $x = 2$, und das Minimum beträgt $3$.

Eigenschaften des Scheitelpunkts

Eigenschaft	Wert
Scheitelpunkt	$(h,\, k)$
Symmetrieachse	$x = h$
Minimum (falls $a > 0$)	$y = k$ bei $x = h$
Maximum (falls $a < 0$)	$y = k$ bei $x = h$

Bei $a > 0$ öffnet die Parabel nach oben (∪-Form); der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. Bei $a < 0$ öffnet sie nach unten (∩-Form); der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt. Der Betrag $|a|$ bestimmt die Weite der Parabel: ein größeres $|a|$ macht sie schmaler, ein kleineres $|a|$ breiter.

Herleitung der Lösungsformel

Die quadratische Ergänzung liefert auch die allgemeine Lösungsformel (die sogenannte „Mitternachtsformel"). Man setzt $ax^2 + bx + c = 0$, schreibt in Scheitelpunktform und löst nach $x$ auf:

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

Einsetzen von $h = -\frac{b}{2a}$ und $k = c - \frac{b^2}{4a}$ und Vereinfachen ergibt:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Die quadratische Ergänzung ist damit der Beweis, dass diese Formel für jede quadratische Gleichung gilt.

Anwendungsgebiete

• Scheitelpunkt bestimmen – ohne Zeichnung oder Differenzialrechnung.
• Quadratische Gleichungen lösen – besonders wenn eine Faktorisierung nicht offensichtlich ist.
• Lösungsformel herleiten – als klassischer Beweis der elementaren Algebra.
• Parabelanalyse in Physik und Technik – Wurfparabel, Optik, Parabolantennen.
• Analysis – die Scheitelpunktform vereinfacht die Integration rationaler Funktionen erheblich.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wozu braucht man die quadratische Ergänzung?

Die quadratische Ergänzung schreibt ax² + bx + c in die Form a(x − h)² + k um, sodass der Scheitelpunkt (h, k) unmittelbar ablesbar ist. Damit lassen sich Minimum oder Maximum der Parabel direkt bestimmen – ganz ohne Differenzialrechnung. Außerdem ist die quadratische Ergänzung die eleganteste Herleitung der Lösungsformel und erleichtert das Skizzieren, da Symmetrieachse (x = h) und Extremwert (y = k) auf einen Blick sichtbar sind.

Wie hängen quadratische Ergänzung und Lösungsformel zusammen?

Die Lösungsformel (auch „Mitternachtsformel" genannt) entsteht direkt durch quadratische Ergänzung der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0. Division durch a liefert x² + (b/a)x + c/a = 0. Nach Addition und Subtraktion von (b/(2a))² ergibt sich das vollständige Quadrat (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Zieht man die Wurzel und löst nach x auf, erhält man x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a).

Was sagt mir der Scheitelpunkt (h, k)?

Der Scheitelpunkt ist der Umkehrpunkt der Parabel. Bei a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben; der Scheitelpunkt ist das globale Minimum: der kleinste Funktionswert von ax² + bx + c ist k, er wird bei x = h angenommen. Bei a < 0 öffnet sich die Parabel nach unten, und (h, k) ist das Maximum. Die Symmetrieachse ist die Gerade x = h – die Parabel ist bezüglich dieser Achse spiegelsymmetrisch.

Wie beeinflusst das Vorzeichen von a die Parabel?

Bei a > 0 öffnet die Parabel nach oben (∪-Form) und besitzt ein Minimum im Scheitelpunkt. Bei a < 0 öffnet sie nach unten (∩-Form) und besitzt ein Maximum. Der Betrag |a| bestimmt die Weite der Parabel: je größer |a|, desto schmaler (steiler) die Parabel; je kleiner |a|, desto breiter. Bei a = 0 entartet der Ausdruck zu einer Geraden, und die quadratische Ergänzung ist nicht definiert.