Teilbarkeitsregeln
Eingaben
| Ganze Zahl | 12.345 |
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Teilbarkeitsregeln
Prüfen Sie, ob eine ganze Zahl durch 2 bis 11 teilbar ist — mit Quersummenregeln für 3 und 9, Endzifferregeln für 2 und 5 sowie der alternierenden Quersumme für 11.
Teilbarkeit ist ein grundlegender Begriff der Zahlentheorie: Eine ganze Zahl n ist durch eine ganze Zahl d (d ≠ 0) teilbar, wenn die Division n ÷ d keinen Rest ergibt — oder gleichbedeutend, wenn es eine ganze Zahl k gibt, sodass n = d × k gilt. Die hier besprochenen Regeln erlauben es, Teilbarkeit ohne Division zu entscheiden, indem nur bestimmte Ziffern oder Ziffernsummen betrachtet werden.
Teilbarkeitsregeln nach Teiler
Durch 2
Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist: 0, 2, 4, 6 oder 8. Die Begründung: 10 ≡ 0 (mod 2), sodass jede Stelle oberhalb der Einerstelle einen durch 2 teilbaren Beitrag liefert — nur die Einerstelle ist maßgeblich.
Durch 3
Die Quersumme aller Ziffern wird berechnet. Ist sie durch 3 teilbar, so ist es auch die ursprüngliche Zahl. Beispiel: 12.345 hat die Quersumme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, und 15 ÷ 3 = 5, also ist 12.345 durch 3 teilbar. Die Regel gilt, weil 10 ≡ 1 (mod 3): Jede Stelle trägt nur ihren Ziffernwert zum Rest bei.
Durch 4
Entscheidend sind nur die letzten beiden Ziffern. Ist die zweistellige Zahl, die sie bilden, durch 4 teilbar, so ist auch die gesamte Zahl durch 4 teilbar. Bei 12.345 bilden die letzten beiden Ziffern die Zahl 45; 45 ÷ 4 = 11,25, also ist 12.345 nicht durch 4 teilbar. Die Vereinfachung beruht darauf, dass 100 = 4 × 25 exakt durch 4 teilbar ist, sodass alle höheren Stellen keinen Rest liefern.
Durch 5
Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Die Begründung ist dieselbe wie bei 2: 10 ≡ 0 (mod 5), sodass nur die Einerstelle zählt.
Durch 6
Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Da 6 = 2 × 3 und ggT(2, 3) = 1, sind die beiden Bedingungen unabhängig voneinander und müssen beide erfüllt sein.
Durch 7
Für 7 gibt es keinen einstufigen Zifferntest, wohl aber ein praktikables iteratives Verfahren: Die letzte Ziffer wird verdoppelt und vom verbleibenden Teil der Zahl subtrahiert; das Ergebnis wird solange wiederholt geprüft, bis die Zahl überschaubar klein ist. Ist der Endwert 0 oder ein Vielfaches von 7, ist die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Beispiel: 343 — letzte Ziffer 3, verdoppelt 6, von 34 subtrahiert ergibt 28; 28 ÷ 7 = 4, also ist 343 durch 7 teilbar. Der Rechner ermittelt den Rest direkt per Modulo-Rechnung, was das iterative Verfahren überflüssig macht.
Durch 8
Maßgeblich sind die letzten drei Ziffern. Ist die dreistellige Zahl, die sie bilden, durch 8 teilbar, so ist auch die gesamte Zahl durch 8 teilbar, da 1.000 = 8 × 125 exakt durch 8 teilbar ist. Bei 12.345 bilden die letzten drei Ziffern die Zahl 345; 345 ÷ 8 = 43,125, also ist 12.345 nicht durch 8 teilbar.
Durch 9
Die Quersumme wird berechnet und auf Teilbarkeit durch 9 geprüft — das Verfahren ist identisch mit dem für 3. Bei 12.345 beträgt die Quersumme 15; 15 ÷ 9 = 1,67, also ist 12.345 nicht durch 9 teilbar. Die Begründung ist dieselbe wie für 3: 10 ≡ 1 (mod 9).
Durch 10
Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist. Das ist die Kombination der Regeln für 2 und 5.
Durch 11
Die alternierende Quersumme wird berechnet: Beginnend von der Einerstelle werden die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert. Ist das Ergebnis 0 oder ein Vielfaches von 11, so ist die Zahl durch 11 teilbar. Beispiel 12.345, von rechts: 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3; da 3 kein Vielfaches von 11 ist, ist 12.345 nicht durch 11 teilbar. Die Begründung: 10 ≡ −1 (mod 11), sodass jede Stelle abwechselnd mit +1 und −1 ihres Ziffernwerts eingeht.
Durchgerechnetes Beispiel
Ist 55.440 durch alle Teiler von 2 bis 11 teilbar?
- Durch 2: letzte Ziffer 0 → ja
- Durch 3: Quersumme 5 + 5 + 4 + 4 + 0 = 18; 18 ÷ 3 = 6 → ja
- Durch 4: letzte zwei Ziffern 40; 40 ÷ 4 = 10 → ja
- Durch 5: letzte Ziffer 0 → ja
- Durch 6: teilbar durch 2 und 3 → ja
- Durch 7: 55.440 ÷ 7 = 7.920 exakt → ja
- Durch 8: letzte drei Ziffern 440; 440 ÷ 8 = 55 → ja
- Durch 9: Quersumme 18; 18 ÷ 9 = 2 → ja
- Durch 10: letzte Ziffer 0 → ja
- Durch 11: alternierende Quersumme 0 − 4 + 4 − 5 + 5 = 0 → ja
55.440 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 ist durch alle zehn Teiler von 2 bis 11 teilbar.
Sonderfall: die Null
Die Null ist durch jede von null verschiedene ganze Zahl teilbar. Die Definition fordert eine ganze Zahl k mit 0 = d × k; die Wahl k = 0 erfüllt dies für jedes d ≠ 0. Der Rechner gibt für n = 0 bei allen Teilern von 2 bis 11 „teilbar" aus.
Genauigkeitsgrenze
Der Rechner verwendet 64-Bit-Gleitkommarechnung, die ganze Zahlen bis 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵ exakt darstellt. Für Zahlen mit einem Betrag über 10¹⁵ können Rundungsfehler zu falschen Ergebnissen führen. Für Teilbarkeitsfragen mit sehr großen Zahlen empfiehlt sich eine Bibliothek mit beliebig langer Ganzzahlarithmetik.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Warum funktioniert die Quersummenregel für 3 und 9?
Jede Zehnerpotenz lässt bei Division durch 9 den Rest 1: 10 ≡ 1, 100 ≡ 1, 1000 ≡ 1 (mod 9). Dasselbe gilt mod 3. Der Wert einer Zahl modulo 9 ist daher gleich der Quersumme modulo 9. Beispiel: 12.345 hat die Quersumme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, und 15 mod 9 = 6 — also ist 12.345 nicht durch 9 teilbar. Da 10 ≡ 1 (mod 3) ebenfalls gilt, funktioniert die Regel auf dieselbe Weise für den Teiler 3.
Wie lautet die Teilbarkeitsregel für 7?
Die gebräuchlichste Kopfrechenmethode für 7: Die letzte Ziffer wird verdoppelt und vom verbleibenden Teil der Zahl subtrahiert. Das Ergebnis wird wiederholt geprüft, bis die Zahl klein genug ist. Beispiel: 343 — letzte Ziffer 3, verdoppelt 6, von 34 subtrahiert ergibt 28; 28 ÷ 7 = 4, also ist 343 durch 7 teilbar. Dieser Rechner ermittelt den Rest direkt durch Modulo-Berechnung, was bei großen Zahlen schneller ist als das Ziffernverfahren.
Ist 0 durch jede Zahl teilbar?
Nach der Standarddefinition ist eine ganze Zahl a durch eine ganze Zahl d (d ≠ 0) teilbar, wenn es eine ganze Zahl k gibt mit a = d × k. Für a = 0 wählt man k = 0: 0 = d × 0 gilt für jedes d ≠ 0. Damit ist 0 durch jede von null verschiedene ganze Zahl teilbar. Dieser Rechner gibt für n = 0 bei allen Teilern von 2 bis 11 „teilbar" aus.
Gibt es Teilbarkeitsregeln für Primzahlen größer als 11?
Ja, sie werden jedoch mit wachsendem Teiler zunehmend unhandlicher. Für 13: die letzte Ziffer mit 4 multiplizieren und zum Rest addieren, wiederholen. Für 17: die letzte Ziffer mit 5 multiplizieren und subtrahieren. Für 19: die letzte Ziffer mit 2 multiplizieren und addieren. Diese Regeln beruhen auf dem multiplikativen Inversen von 10 modulo der jeweiligen Primzahl — demselben Prinzip wie bei den Regeln für 7 und 11. In der Praxis ist die direkte Division oder der Einsatz eines Rechners für Primzahlen ab 13 schneller als das Ziffernverfahren.