Zuletzt aktualisiert: 2026-06-23

Warum die Stichprobengröße für einen Mittelwert zählt

Soll eine Umfrage oder ein Experiment einen Durchschnitt schätzen — die mittlere Wartezeit, den mittleren Blutdruck, die mittleren Haushaltsausgaben —, so entscheidet die Stichprobengröße über die erreichbare Genauigkeit dieser Schätzung. Zu wenige Personen, und das Konfidenzintervall ist so breit, dass das Ergebnis kaum aussagt; zu viele, und die Untersuchung vergeudet Zeit und Geld. Die vorab geplante Stichprobengröße legt die gewünschte Genauigkeit fest, bevor eine einzige Beobachtung erhoben wird.

Die benötigte Stichprobengröße zur Schätzung eines Mittelwerts der Grundgesamtheit ergibt sich unmittelbar aus der Breite eines Konfidenzintervalls:

Jeder Term hat eine klare Bedeutung:

• $n$ — die minimale Anzahl der benötigten Beobachtungen.
• $z$ — der kritische Wert der Standardnormalverteilung für das Konfidenzniveau. Er beträgt 1,645 bei 90 %, 1,96 bei 95 % und 2,576 bei 99 %.
• $\sigma$ — die Standardabweichung der Grundgesamtheit, ein Maß für die Streuung der Werte.
• $E$ — die Fehlermarge, die gewünschte ±-Genauigkeit um den geschätzten Mittelwert, in derselben Einheit wie $\sigma$.

Die Genauigkeit verbessert sich mit dem Quadrat der Marge: Eine Halbierung der Fehlermarge vervierfacht die Stichprobe. Ebenso vervierfacht eine Verdopplung der Streuung $\sigma$ die Stichprobe, und der Wechsel von 95 % auf 99 % Konfidenz hebt den kritischen Wert von 1,96 auf 2,576 und vervielfacht den Bedarf um etwa das 1,7-Fache.

Einen Wert für σ gewinnen

Die Formel benötigt die Standardabweichung, doch $\sigma$ ist vor der Untersuchung fast nie bekannt. Drei praktische Schätzungen decken die meisten Fälle ab:

• Pilotstudie. Eine kleine Reihe von Beobachtungen erheben und deren Stichproben-Standardabweichung als Ersatz für $\sigma$ verwenden.
• Frühere Daten. Die in früherer Forschung oder veröffentlichten Statistiken für eine vergleichbare Grundgesamtheit berichtete Standardabweichung übernehmen.
• Spannweitenregel. Sind nur der plausible kleinste und größte Wert bekannt, lässt sich $\sigma \approx (\text{Max} - \text{Min}) / 4$ ansetzen, da ein annähernd normaler Wertebereich etwa vier Standardabweichungen umspannt.

Eine etwas konservative (größere) Schätzung ist die sichere Wahl: Sie treibt die Stichprobe nach oben, statt die Untersuchung unterzudimensionieren.

Rechenbeispiel

Angenommen, ein Mittelwert soll auf ±2 Einheiten genau bei 95 % Konfidenz geschätzt werden, und frühere Daten legen eine Standardabweichung von etwa 15 nahe. Mit einem kritischen Wert von 1,96, $\sigma = 15$ und einer Fehlermarge von 2:

Die Formel liefert exakt 216,09, doch ein Bruchteil einer Person lässt sich nicht befragen, und ein Abrunden würde die Marge etwas breiter ausfallen lassen als gefordert. Das Ergebnis wird stets aufgerundet — hier auf 217 Beobachtungen.

Wenn z nicht ausreicht

Die obige Formel verwendet den Normalwert $z$, der die übliche Konvention für die Planung der Stichprobengröße ist. Zwei Einschränkungen sind zu beachten.

Kleine Stichproben und unbekanntes σ. Der $z$-Wert setzt eine große Stichprobe voraus. Ist der endgültige Datensatz klein (etwa unter dreißig) und wird $\sigma$ aus den Daten geschätzt, sollte die Auswertung selbst die breitere $t$-Verteilung statt $z$ verwenden. Für die Planung ist $z$ aber der übliche Ausgangspunkt, da n noch nicht bekannt ist; sobald n groß ist, wird der Abstand zwischen $z$ und $t$ vernachlässigbar.

Endliche Grundgesamtheiten. Die einfache Formel setzt eine Ziehung aus einer praktisch unendlich großen Grundgesamtheit voraus. Ist die Stichprobe ein beträchtlicher Anteil einer kleinen, endlichen Grundgesamtheit der Größe $N$, ist die Endlichkeitskorrektur anzuwenden, die den Bedarf senkt:

Für die Schätzung eines Anteils statt eines Mittelwerts ändert die Planungsformel ihre Gestalt — siehe den Stichprobengröße berechnen (Anteil). Um umgekehrt die Fehlermarge zu einer bereits vorhandenen Stichprobe zu bestimmen, dient der Fehlermarge berechnen.